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- 经济学理论 Economic Theory
- 计量经济学 Econometrics
统计代写
数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Properties
In this section we briefly state some of the most important properties of Brownian motion. Using definition $6.1$, we can immediately derive the following results:
- We have $B_{t}=B_{t}-B_{0} \sim \mathcal{N}\left(0, t I_{d}\right)$ and in particular the expectation of $B_{t}$ is $\mathbb{E}\left(B_{t}\right)=0 .$
- For the one-dimensional case we find $B_{t} \sim \mathcal{N}(0, t)$ and thus the standard deviation of $B_{t}$ is $\sqrt{t}$.
- Similarly, for any dimension, we find that $B_{t}$ has the same distribution as $\sqrt{t} B_{1}$. Thus, the magnitude of $\left|B_{t}\right|$ only grows like $\sqrt{t}$ as $t$ increases.
Another basic result, relating the one-dimensional case to the $d$-dimensional case, is given in the following lemma.
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Direct simulation
As we have seen at the start of this chapter, we cannot hope to simulate all of the infinitely many values $\left(B_{t}\right){t \geq 0}$ on a computer simultaneously. Instead, we restrict ourselves to simulating the values of $B$ for times $0=t{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}$. For a Brownian motion, this can be easily done by using the first two conditions from definition $6.1$ : we have $B_{0}=0$ and $B_{t_{i}}$ can be computed from $B_{t_{i-1}}$ by adding an $\mathcal{N}\left(0, t_{i}-t_{i-1}\right)$ distributed random value, independent of all values computed so far. This method is described in the following algorithm.
input:
sample times $0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}$
randomness used:
an i.i.d. sequence $\left(\varepsilon_{i}\right){i=1,2, \ldots, n}$ with distribution $\mathcal{N}(0,1)$ output: a sample of $B{t_{0}}, \ldots, B_{t_{n}}$, that is a discretised path of a Brownian motion
1: $B_{0} \leftarrow 0$
2: for $i=1,2, \ldots, n$ do
3: $\quad$ generate $\varepsilon_{i} \sim \mathcal{N}(0,1)$
4: $\quad \Delta B_{i} \leftarrow \sqrt{t_{i}-t_{i-1}} \varepsilon_{i}$
5: $\quad B_{t_{i}} \leftarrow B_{t_{i-1}}+\Delta B_{i}$
$6:$ end for
7: return $\left(B_{t_{i}}\right)_{i=0,1, \ldots, n}$
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Interpolation and Brownian bridges
If we have already simulated values of a Brownian motion $B$ for a set of times, it is possible to refine the simulated path afterwards by simulating values of $B$ for additional times. This method is called interpolation of the Brownian path. Since these additional simulations need to be compatible with the already sampled values, some care is needed when implementing this method.
Assume that we know the values of $B$ at times $0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}$ and that we want to simulate an additional value for $B$ at time $s$ with $t_{i-1}<s<t_{i}$ for some $i \in{2,3, \ldots, n}$. As an abbreviation we write $r=t_{i-1}$ and $t=t_{i}$. By the Markov property of Brownian motion (lemma 6.5, part (b)), the increment $B_{s}-B_{r}$ is independent of $\left(B_{u}\right){0 \leq u \leq r}$. Similarly, $\left(B{u}-B_{t}\right){u \geq t}$ is independent of $\left(B{u}\right){0 \leq u \leq t}$ and thus of $B{s}-B_{r}$. Consequently, we only need to take the value $B_{t}=B_{t_{i}}$ into account when sampling the increment $B_{s}-B_{r}$; by independence the remaining $B_{t_{j}}$ with $j \neq i$ do not affect the distribution of $B_{s}-B_{r}$.
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|PROPERTIES
在本节中，我们简要说明布朗运动的一些最重要的性质。使用定义6.1，我们可以立即得出以下结果：
- 我们有乙吨=乙吨−乙0∼ñ(0,吨一世d)尤其是期望乙吨是和(乙吨)=0.
- 对于一维情况，我们发现乙吨∼ñ(0,吨)因此标准差乙吨是吨.
- 同样，对于任何维度，我们发现乙吨具有相同的分布吨乙1. 因此，幅度|乙吨|只会长得像吨作为吨增加。
另一个基本结果，将一维情况与d维情况，在以下引理中给出。
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|DIRECT SIMULATION
正如我们在本章开头所看到的，我们不能希望模拟所有无限多的值 $\left(B_{t}\right){t \geq 0}$ on a computer simultaneously. Instead, we restrict ourselves to simulating the values of $B$ for times $0=t{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}$. For a Brownian motion, this can be easily done by using the first two conditions from definition $6.1$ : we have $B_{0}=0$ and $B_{t_{i}}$ can be computed from $B_{t_{i-1}}$ by adding an $\mathcal{N}\left(0, t_{i}-t_{i-1}\right)$ 分布式随机值，独立于目前计算的所有值。该方法在以下算法中描述。
输入：
采样时间0=吨0<吨1<⋯<吨n
使用的随机性：
input:
sample times $0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}$ randomness used:
an i.i.d. sequence $\left(\varepsilon_{i}\right){i=1,2, \ldots, n}$ with distribution $\mathcal{N}(0,1)$ output: a sample of $B{t_{0}}, \ldots, B_{t_{n}}$, that is a discretised path of a Brownian motion
1: $B_{0} \leftarrow 0$
2: for $i=1,2, \ldots, n$ do
3: generate $\varepsilon_{i} \sim \mathcal{N}(0,1)$
$\begin{array}{ll}\text { 4: } & \Delta B_{i} \leftarrow \sqrt{t_{i}-t_{i-1}} \varepsilon_{i} \ 5: & B_{t_{i}} \leftarrow B_{t_{i-1}}+\Delta B_{i}\end{array}$
6: end for
7: return $\left(B_{t_{i}}\right)_{i=0,1, \ldots, n}$
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|INTERPOLATION AND BROWNIAN BRIDGES
如果我们已经模拟了布朗运动的值乙在一段时间内，可以通过模拟以下值来改进模拟路径乙额外的时间。这种方法称为布朗路径的插值。由于这些额外的模拟需要与已经采样的值兼容，因此在实施此方法时需要小心。
假设我们知道乙有时0=吨0<吨1<⋯<吨n并且我们想要模拟一个附加值乙有时s和吨一世−1<s<吨一世对于一些一世∈2,3,…,n. 作为缩写，我们写r=吨一世−1和吨=吨一世. 由布朗运动的马尔可夫性质一世和米米一种6.5,p一种r吨(b)，增量乙s−乙r独立于 $B$ at time $s$ with $t_{i-1}<s<t_{i}$ for some $i \in{2,3, \ldots, n}$. As an abbreviation we write $r=t_{i-1}$ and $t=t_{i}$. By theMarkov property of Brownian motion (lemma 6.5, part (b)), the increment $B_{s}-B_{r}$ is independent of $\left(B_{u}\right){0 \leq u \leq r}$. Similarly, $\left(B{u}-B_{t}\right){u \geq t}$ is independent of $\left(B{u}\right){0 \leq u \leq t}$ and thus of $B{s}-B_{r}$. Consequently, we only need to take the value $B_{t}=B_{t_{i}}$ into account when sampling the increment $B_{s}-B_{r}$; by independence the remaining $B_{t_{j}}$ with $j \neq i$ do not affect the distribution of $B_{s}-B_{r}$.
Assume that $B$ is one-dimensional with $B_{r}=a$. Since $\left(B_{u+r}-B_{r}\right){u \geq 0}$ is a Brownian motion independent of $B{r}$, we have $B_{s} \sim \mathcal{N}(a, s-r)$ and $B_{t}-B_{s} \sim$ $\mathcal{N}(0, t-s)$, independently of each other. Thus, the joint density of $\left(B_{s}, B_{t}\right)$ is
。
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