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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Geometric Brownian motion

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统计代写

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Geometric Brownian motion

Geometric Brownian motion is a continuous-time stochastic process which is derived from Brownian motion and can, for example, be used as a simple model for stock prices.

Definition 6.8 A continuous-time stochastic process $X=\left(X_{t}\right){t \geq 0}$ is a geometric Brownian motion, if $$ X{t}=X_{0} \exp \left(\alpha B_{t}+\beta t\right)
$$
for all $t \geq 0$, where $\alpha>0$ and $\beta \in \mathbb{R}$ are constants and $B$ is a one-dimensional Brownian motion, independent of $X_{0}$.Figure $6.5$ One path of a geometrical Brownian motion with $X_{0}=1, \alpha=1$ and $\beta=-0.1$, simulated until time $T=10$.

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Since we know how to generate samples of a Brownian motion from section $6.2 .2$, generating samples of a geometric Brownian motion is easy: we can simply simulate $B_{t}$, for example using algorithm 6.6, and then separately compute $X_{0} \exp \left(\alpha B_{t}+\beta t\right)$ for every $t$-value used in the simulation (the result of one such simulation is shown in Figure 6.5). Nevertheless, we will see below that some care is needed when using the simulated values for Monte Carlo estimates.

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几何布朗运动是从布朗运动派生的连续时间随机过程,例如,可以用作股票价格的简单模型。

定义 6.8 连续时间随机过程 $X=\leftX_{t}\右X_{t}\右{t\geq 0}一世s一种G和○米和吨r一世C乙r○在n一世一种n米○吨一世○n,一世F$ X {t}=X_{0} \exp \left\alpha B_{t}+\beta t\right\alpha B_{t}+\beta t\right所有人的$$吨≥0, 在哪里一种>0和b∈R是常数和乙是一维布朗运动,独立于X0。数字6.5几何布朗运动的一条路径X0=1,一种=1和b=−0.1, 模拟到时间吨=10.

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因为我们知道如何从截面生成布朗运动的样本6.2.2,生成几何布朗运动的样本很容易:我们可以简单地模拟乙吨,例如使用算法6.6,然后分别计算X0经验⁡(一种乙吨+b吨)对于每个吨- 模拟中使用的值吨H和r和s你一世吨○F○n和s你CHs一世米你一世一种吨一世○n一世ssH○在n一世nF一世G你r和6.5. 尽管如此,我们将在下面看到,在使用蒙特卡罗估计的模拟值时需要注意。

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