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统计代写
数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|following situations
Many important statistical models have a hierarchical structure: not all random variables in the model are defined simultaneously, but instead there are several ‘levels’ of randomness and the distribution of the random variables in the later levels depends on the values of random variables in earlier levels. This structure is, for example, present in the following situations.
- In Bayesian models (discussed in Section 4.3) the distribution of the data depends on the value of one or more random parameters.
- In mixture models the distribution of samples depends on the random choice of mixture component.
- In Markov chains (discussed in Section 2.3) the distribution of the value at time $t$ depends on the value of the Markov chain at time $t-1$.
Simulating hierarchical models is often easy: the simulation procedure will be performed in steps, closely following the structure of the model. We illustrate this approach here using examples.
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|hierarchical structure
Consider the Bayesian model where the data are described as i.i.d. samples $X_{1}, \ldots, X_{n} \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, and where the mean $\mu$ and the variance $\sigma^{2}$ are themselves assumed to be random with distributions $\sigma^{2} \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$ and $\mu \sim$ $\mathcal{N}\left(\mu_{0}, \alpha \sigma^{2}\right)$. Since the variance $\sigma^{2}$ occurs in the distribution of $\mu$, the model has the following dependence structure:
$$
\sigma^{2} \longrightarrow \mu \quad X_{1}, \ldots, X_{n}
$$
To generate samples from this model, we use steps corresponding to the levels in the model:
1: generate $\sigma^{2} \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$
2: generate $\mu \sim \mathcal{N}\left(\mu_{0}, \alpha \sigma^{2}\right)$
3: for $i=1, \ldots, n$ do
4: generate $X_{i} \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^{2}\right)$
5 : end for
Sometimes, the hierarchical structure of a model is not immediately clear. This is for example the case for mixture distributions as given in the following definition, but we will see that for generating samples from a mixture distribution it is beneficial to introduce a hierarchical structure.
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|IMPORTANT MULTIVARIATE
最重要的多元分布之一是多元正态分布。在本节中，我们将推导多元正态分布的基本属性，并将讨论如何从该分布生成样本。
定义 2.1 让μ∈Rd是一个向量并且Σ∈Rd×d是一个对称的正定矩阵。然后是一个随机向量X∈Rd正态分布，均值μ和协方差矩阵Σ, 如果分布X有密度F:Rd→R由
F(X)=1(2圆周率)d/2|这Σ|1/2经验(−12(X−μ)⊤Σ−1(X−μ))
对所有人X∈Rd.
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|USING THIS INTERPRETATION
在这个定义中，我们考虑向量X−μ∈Rd成为一个d×1矩阵和表达式(X−μ)⊤表示这个向量的转置，即向量X−μ解释为1×d矩阵。使用这种解释，我们有
$$
(x-\mu)^{\top} \Sigma^{-1}(x-\mu)=\sum_{i, j=1}^{d}\left(x_{i}-\mu_{i}\right)\left(\Sigma^{-1}\right){i j}\left(x{j}-\mu_{j}\right) .
$$
The multivariate normal distribution from definition $2.1$ is a generalisation of the one-dimensional normal distribution: If $\Sigma$ is a diagonal matrix, say
$$
\Sigma=\left(\begin{array}{cccc}
\sigma_{1}^{2} & 0 & \ldots & 0 \
0 & \sigma_{2}^{2} & \ldots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \ldots & \sigma_{d}^{2}
\end{array}\right)
$$
then $|\operatorname{det} \Sigma|=\prod_{i=1}^{d} \sigma_{i}^{2}$ and
$$
\Sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
1 / \sigma_{1}^{2} & 0 & \cdots & 0 \
0 & 1 / \sigma_{2}^{2} & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & 1 / \sigma_{d}^{2}
\end{array}\right)
$$
and thus the density $f$ from (2.1) can be written as
$$
\begin{aligned}
f(x) &=\frac{1}{(2 \pi)^{d / 2}\left|\prod_{i=1}^{d} \sigma_{i}^{2}\right|^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d}\left(x_{i}-\mu_{i}\right) \frac{1}{\sigma_{i}^{2}}\left(x_{i}-\mu_{i}\right)\right) \
&=\prod_{i=1}^{d} \frac{1}{\left(2 \pi \sigma_{i}^{2}\right)^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{\left(x_{i}-\mu_{i}\right)^{2}}{2 \sigma_{i}^{2}}\right) \
&=\prod_{i=1}^{d} f_{i}\left(x_{i}\right)
\end{aligned}
$$
where the function $f_{i}$, given by
$$
f_{i}(x)=\frac{1}{\left(2 \pi \sigma_{i}^{2}\right)^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{i}\right)^{2}}{2 \sigma_{i}^{2}}\right)
$$
所有人的$$X∈R, 是一维正态分布的密度，均值μ一世和方差σ一世2. 这表明X正态分布于Rd与对角协方差矩阵，当且仅当组件X一世为了一世=1,2,…,d是独立的并且正态分布在R.
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