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- 经济统计学 Economic Statistics
- 经济学理论 Economic Theory
- 计量经济学 Econometrics
统计代写
数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|The linear congruential generator
This section introduces the linear congruential generator (LCG), a simple example of a PRNG. While this random number generator is no longer of practical importance, it shares important characteristics with the more complicated generators used in practice today and we study it here as an accessible example. The LCG is given by the following algorithm.
Algorithm 1.2 (linear congruential generator)
input:
$m>1$ (the modulus)
$a \in{1,2, \ldots, m-1}$ (the multiplier)
$c \in{0,1, \ldots, m-1}$ (the increment)
$X_{0} \in{0,1, \ldots, m-1}$ (the seed)
output:
a sequence $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots$ of pseud random numbers
4: end for
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Quality of pseudo random number generators
PRNGs used in modern software packages such as $R$ or Matlab are more sophisticated (and more complicated) than the LCG presented in Section 1.1.1, but they still share many characteristics of the LCG. We will see that no PRNG can produce a perfect result, but the random number generators used in practice, for example the Mersenne Twister algorithm (Matsumoto and Nishimura, 1998), are good enough for most purposes. In this section we will discuss criteria for the quality of the output of general PRNGs, and will illustrate these criteria using the LCG as an example.
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Pseudo random number generators in practice
Finally, PRNGs like the LCG described above often generate a sequence which behaves like a sequence of independent random numbers, uniformly distributed on a finite set ${0,1, \ldots, m-1}$ for a big value of $m$. In contrast, most applications require a sequence of independent, $\mathcal{U}[0,1]$-distributed random variables, that is a sequence of i.i.d. values which are uniformly distributed on the real interval $[0,1]$. We can obtain a sequence $\left(U_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ of pseudo random numbers to replace an i.i.d. sequence of $\mathcal{U}[0,1]$ random variables by setting $$ U{n}=\frac{X_{n}+1}{m+1}
$$
where $\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is the output of the PRNG. The output $U{n}$ can only take the $m$ different values
$$
\frac{1}{m+1}, \frac{2}{m+1}, \ldots, \frac{m}{m+1}
$$
and thus $U_{n}$ is not exactly uniformly distributed on the continuous interval $[0,1]$. But, since the possible values are evenly spaced inside the interval $[0,1]$ and since each of these values has the same probability, the distribution of $U_{n}$ is a reasonable approximation to a uniform distribution on $[0,1]$. This is particularly true since computers can only represent finitely many real numbers exactly.
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|THE LINEAR CONGRUENTIAL GENERATOR
本节介绍线性同余生成器一世CG，一个简单的 PRNG 示例。虽然这个随机数生成器不再具有实际意义，但它与当今实践中使用的更复杂的生成器具有共同的重要特征，我们在这里将其作为一个易于理解的示例进行研究。LCG由以下算法给出。
算法
输入：
$m>1$ (the modulus)
$a \in{1,2, \ldots, m-1}$ (the multiplier)
$c \in{0,1, \ldots, m-1}$ (the increment)
$X_{0} \in{0,1, \ldots, m-1}$ (the seed)
output:
a sequence $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots$ of pseud random numbers
1: for $n=1,2,3, \ldots$ do
2: $\quad X_{n} \leftarrow\left(a X_{n-1}+c\right) \bmod m$
3: $\quad$ output $X_{n}$
输出：
一个序列X1,X2,X3,…伪随机数
4：结束
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|QUALITY OF PSEUDO RANDOM NUMBER GENERATORS
现代软件包中使用的 PRNG，例如R或 Matlab 更复杂一种nd米○r和C○米p一世一世C一种吨和d与第 1.1.1 节中介绍的 LCG 相比，它们仍然具有 LCG 的许多特征。我们将看到没有 PRNG 可以产生完美的结果，但是在实践中使用的随机数生成器，例如 Mersenne Twister 算法米一种吨s你米○吨○一种ndñ一世sH一世米你r一种,1998，对于大多数用途来说已经足够了。在本节中，我们将讨论一般 PRNG 输出质量的标准，并以 LCG 为例说明这些标准。
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|PSEUDO RANDOM NUMBER GENERATORS IN PRACTICE
最后，像上面描述的 LCG 这样的 PRNG 通常会生成一个序列，该序列的行为类似于一系列独立的随机数，均匀分布在有限集上0,1,…,米−1对于一个很大的价值米. 相比之下，大多数应用程序需要一系列独立的、ü[0,1]- 分布随机变量，即在真实区间上均匀分布的 iid 值序列[0,1]. 我们可以得到一个序列$\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ of pseudo random numbers to replace an i.i.d. sequence of $\mathcal{U}[0,1]$ random variables by setting
其中
$$
U_{n}=\frac{X_{n}+1}{m+1}
$$
where $\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is the output of the PRNG. The output $U{n}$ can only take the $m$ different values
$$
\frac{1}{m+1}, \frac{2}{m+1}, \ldots, \frac{m}{m+1}
$$
and thus $U_{n}$ is not exactly uniformly distributed on the continuous interval $[0,1]$. But, since the possible values are evenly spaced inside the interval $[0,1]$ and since each of these values has the same probability, the distribution of $U_{n}$
○n○n0,1美元。尤其如此，因为计算机只能精确地表示有限多个实数。
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