如果你也在 怎样代写实分析real analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析real analysis是数学分析的一个分支，研究实数、实数序列和实数函数的行为。 实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平稳性、可微分性和可整定性。实分析有别于复分析，后者涉及复数及其函数的研究。
实分析real analysis是数学中的一个经典分支，它的发展是为了使数和函数的研究正规化，并研究重要的概念，如极限和连续性。这些概念是微积分及其应用的基础。实物分析已经成为许多应用领域中不可或缺的工具。
实分析real analysis的基础知识：序列和数列的收敛性、连续性、可分性、黎曼积分、函数的序列和数列、均匀性以及极限操作的互换。
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数学代写|实分析代写real analysis代考|Periodic Functions
When we discussed Fourier series and the trigonometric system in Section $8.4$ we considered $L^{2}[0,1]$, the space of square-integrable functions on the domain $[0,1]$. However, it is entirely equivalent and often more convenient to instead consider the space of functions that are 1-periodic on $\mathbb{R}$ and are square-integrable on $[0,1]$, where 1-periodic means that
$$
f(x+1)=f(x) \quad \text { for } x \in \mathbb{R} .
$$
We will denote this space by
$$
L^{2}(\mathbb{T})=\left{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}: f \text { is 1-periodic and } \int_{0}^{1}|f(x)|^{2} d x<\infty\right}
$$
As usual, we identify any two functions in $L^{2}(\mathbb{T})$ that are equal a.e. The norm on $L^{2}(\mathbb{T})$ is
$$
|f|_{2}=\left(\int_{0}^{1}|f(x)|^{2} d x\right)^{1 / 2} .
$$
We define $L^{p}(\mathbb{T})$ similarly for finite $p$, and we let $L^{\infty}(\mathbb{T})$ be the set of all essentially bounded 1-periodic functions. Since the interval $[0,1]$ has finite measure, we have
$$
L^{p}(\mathbb{T}) \subseteq L^{1}(\mathbb{T}), \quad \text { for } 1 \leq p \leq \infty
$$
In contrast, $L^{p}(\mathbb{R})$ is not contained in $L^{1}(\mathbb{R})$ for any $p>1$, nor is $L^{1}(\mathbb{R})$ contained in $L^{p}(\mathbb{R})$.
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|Decay of Fourier Coefficients
We begin by proving some facts about Fourier coefficients that are reminiscent of results that we established for the Fourier transform. For example,
Lemma 9.2.3 showed that if $f \in L^{1}(\mathbb{R})$, then its Fourier transform $\widehat{f}$ is both bounded and continuous. Now suppose that $f$ is a 1-periodic integrable function, i.e., $f \in L^{1}(\mathbb{T})$. Then its Fourier coefficients $\widehat{f}(n)$ are defined only for integer values of $n$, so it no longer makes sense to ask whether $\widehat{f}$ is continuous, but we see from the computation
$$
|\widehat{f}(n)|=\left|\int_{0}^{1} f(x) e^{-2 \pi i n x} d x\right| \leq \int_{0}^{1}\left|f(x) e^{-2 \pi i n x}\right| d x=|f|_{1}
$$
that $\hat{f}(n)$ is bounded in $n$. In fact, equation $(9.35)$ shows that if $f \in L^{1}(\mathbb{T})$ then the sequence of Fourier coefficients $\widehat{f}$ belongs to $\ell^{\infty}(\mathbb{Z})$, and
$$
|\widehat{f}|_{\infty} \leq|f|_{1} .
$$
The next exercise gives a refinement of this fact.
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|Convolution of Periodic Functions
One reason that we prefer $L^{p}(\mathbb{T})$ over $L^{p}[0,1]$ is that it is notationally simpler to define the convolution of 1-periodic functions than functions on $[0,1]$, because we can avoid the use of the mod 1 operator. We give the formal definition next; note how the assumption that $g$ is 1-periodic comes into play when we translate $g$ to obtain $g(x-y)$. If we wanted to define the convolution of functions on the domain $[0,1]$, we would replace $g(x-y)$ in equation (9.36) with $g(x-y \bmod 1)$.
Definition 9.3.5 (Convolution). Assume that $f$ and $g$ are measurable, 1-periodic functions. Their convolution is the function $f * g$ formally defined by
$$
(f * g)(x)=\int_{0}^{1} f(y) g(x-y) d y,
$$
if this integral exists.
Here is Young’s Inequality for convolution of 1-periodic functions.
Exercise 9.3.6 (Young’s Inequality). Fix $1 \leq p \leq \infty$, and assume that $f \in L^{p}(\mathbb{T})$ and $g \in L^{1}(\mathbb{T})$. Prove that
(a) $f * g$ is defined a.e.,
(b) $f * g$ is 1-periodic,
(c) $f * g$ is measurable and $f * g \in L^{p}(\mathbb{T})$,
(d) $|f * g|_{p} \leq|f|_{p}|g|_{1}$, and
(e) $(f * g)^{\wedge}(n)=\widehat{f}(n) \widehat{g}(n)$ for all $n \in \mathbb{Z} . \quad \diamond$
实分析代写
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|PERIODIC FUNCTIONS
当我们在章节中讨论傅里叶级数和三角系统时8.4我们考虑过大号2[0,1], 域上的平方可积函数空间[0,1]. 然而，它是完全等价的，而且通常更方便的是考虑 1 周期函数的空间R并且是平方可积的[0,1]，其中 1-周期表示
F(X+1)=F(X) 为了 X∈R.
我们将这个空间表示为
L^{2}(\mathbb{T})=\left{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}: f \text { 是 1 周期且 } \int_{0}^{1} |f(x)|^{2} d x<\infty\right}L^{2}(\mathbb{T})=\left{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}: f \text { 是 1 周期且 } \int_{0}^{1} |f(x)|^{2} d x<\infty\right}
像往常一样，我们在大号2(吨)相等的 ae 上的规范大号2(吨)是
|F|2=(∫01|F(X)|2dX)1/2.
我们定义大号p(吨)同样对于有限p，我们让大号∞(吨)是所有基本有界 1 周期函数的集合。由于区间[0,1]有有限度，我们有
大号p(吨)⊆大号1(吨), 为了 1≤p≤∞
相比之下，大号p(R)不包含在大号1(R)对于任何p>1, 也不是大号1(R)包含在大号p(R).
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|DECAY OF FOURIER COEFFICIENTS
我们首先证明一些关于傅里叶系数的事实，这些事实让人想起我们为傅里叶变换建立的结果。例如，
引理 9.2.3 表明，如果F∈大号1(R), 那么它的傅里叶变换F^既是有界的又是连续的。现在假设F是一个 1 周期可积函数，即，F∈大号1(吨). 那么它的傅里叶系数F^(n)只为整数值定义n，所以再问是否F^是连续的，但我们从计算中看到
|F^(n)|=|∫01F(X)和−2圆周率一世nXdX|≤∫01|F(X)和−2圆周率一世nX|dX=|F|1
那F^(n)有界n. 事实上，等式(9.35)表明如果F∈大号1(吨)然后是傅里叶系数的序列F^属于ℓ∞(从)， 和
|F^|∞≤|F|1.
下一个练习对这一事实进行了改进。
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|CONVOLUTION OF PERIODIC FUNCTIONS
我们喜欢的原因之一大号p(吨)超过大号p[0,1]是在符号上定义 1 周期函数的卷积比定义函数更简单[0,1]，因为我们可以避免使用 mod 1 运算符。我们接下来给出正式定义；注意假设G当我们翻译时，is 1-periodic 起作用G获得G(X−是). 如果我们想定义域上的函数卷积[0,1]，我们将替换G(X−是)在等式中9.36和G(X−是反对1).
定义 9.3.5C这nv这一世你吨一世这n. 假使，假设F和G是可测量的 1 周期函数。它们的卷积是函数F∗G正式定义为
(F∗G)(X)=∫01F(是)G(X−是)d是,
如果这个积分存在。
这是 1 周期函数卷积的杨氏不等式。
练习 9.3.6是这你nG′s一世n和q你一种一世一世吨是. 使固定1≤p≤∞，并假设F∈大号p(吨)和G∈大号1(吨). 证明
一种 F∗G定义为 ae，
b F∗G是 1-周期性的，
C F∗G是可测量的并且F∗G∈大号p(吨),
d |F∗G|p≤|F|p|G|1， 和
和 (F∗G)∧(n)=F^(n)G^(n)对全部n∈从.⋄
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离散数学代写
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