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随机分析stochastic analysis应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程（为纪念诺伯特-维纳而命名），它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来，维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中，以模拟股票价格和债券利率的时间演变。
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数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|random variables
In this chapter, we call a sequence of random variables $X=\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ a stochastic process.
Definition 2.4.1 We say that a stochastic process $X=\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ is $\left(\left{\mathcal{F}{n}\right}{n=0}^{\infty}-\right)$ adapted, if a random variable $X_{n}$ is $\mathcal{F}{n}$-measurable for all $n \in \mathbf{Z}{\geqq 0}$.
It is obvious that martingales are adapted.
Definition 2.4.2 We say that a stochastic process $X=\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ is $\left(\left{\mathcal{F}{n}\right}{n=0^{-}}^{\infty}\right)$ predictable, if $X_{0}=0$ and a random variable $X_{n}$ is $\mathcal{F}{n-1}$-measurable for all $n \geqq 1$. Theorem 2.4.1 Let $\left{X{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ be an adapted process such that $E\left[\left|X_{n}\right|\right]<\infty, n=$ $0,1,2, \ldots$. Then we have the following.
(1) There exist a martingale $\left{M_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ with $M_{0}=0$ and a predictable process $\left{A_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ such that
$$
X_{n}=X_{0}+M_{n}+A_{n}, \quad n \geqq 0
$$
Moreover, if there is a martingale $\left{\tilde{M}{n}\right}{n=0}^{\infty}$ with $\tilde{M}{0}=0$ and a predictable process $\left{\tilde{A}{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ such that $X_{n}=X_{0}+\tilde{M}{n}+\tilde{A}{n}, n \geqq 0$, then $\tilde{M}{n}=M{n}$ a.s. and $\tilde{A}{n}=A{n}$ a.s., $n \geqq 0$.
数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|well-defined
Proposition 2.4.1 Let $\tau$ be a stopping time and $\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ be an adapted stochastic process. Then a random variable $1_{{\tau<\infty}} X_{\tau}$ is $\mathcal{F}{\tau}$-measurable. Here $1{{\tau<\infty}} X_{\tau}$ is a random variable given by
$$
\left(1_{{\tau<\infty}} X_{\tau}\right)(\omega)=\left{\begin{array}{cl}
X_{n}(\omega), & \text { if } \tau(\omega)=n \in \mathbf{Z}{\geqq 0}, \ 0, & \text { if } \tau(\omega)=\infty \end{array}\right. $$ for $\omega \in \Omega$. Proof Our assertion follows from the fact that $1{(\tau<\infty)} X_{\tau}$ is well-defined and that
$$
\left{1_{{\tau<\infty}} X_{\tau} \in B\right} \cap{\tau=n}=\left{X_{n} \in B\right} \cap{\tau=n} \in \mathcal{F}{n}, \quad n \in \mathbf{Z}{\geqq 0}
$$
for any $B \in \mathcal{B}([-\infty, \infty])$.
In the case that $P(\tau<\infty)=1$ we denote $1_{{\tau<\infty}} X_{\tau}$ by $X_{\tau}$ for simplicity of notation.
For any stochastic processes $X=\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ and $Y=\left{Y_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$, we define a stochastic process $Y \bullet X$ by
(Y \bullet X){0}=0, \text { and }(Y \bullet X){n}=\sum_{k=1}^{n} Y_{k}\left(X_{k}-X_{k-1}\right), \quad n \geqq 1
随机分析代写
数学代写|随机分析作业代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|RANDOM VARIABLES
在本章中，我们称随机变量序列X=\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}X=\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}一个随机过程。
定义 2.4.1 我们说一个随机过程 $X=\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ is $\left(\left{\mathcal{F}{n}\right}{n=0}^{\infty}-\right)$ adapted, if a random variable $X_{n}$ is $\mathcal{F}{n}$-measurable for all $n \in \mathbf{Z}{\geqq 0}$.
It is obvious that martingales are adapted.
Definition 2.4.2 We say that a stochastic process $X=\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ is $\left(\left{\mathcal{F}{n}\right}{n=0^{-}}^{\infty}\right)$ predictable, if $X_{0}=0$ and a random variable $X_{n}$ is $\mathcal{F}{n-1}$-measurable for all $n \geqq 1$. Theorem 2.4.1 Let $\left{X{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ be an adapted process such that $E\left[\left|X_{n}\right|\right]<\infty, n=$ $0,1,2, \ldots$. Then we have the following.
(1) There exist a martingale $\left{M_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ with $M_{0}=0$ and a predictable process $\left{A_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ such that
$$
X_{n}=X_{0}+M_{n}+A_{n}, \quad n \geqq 0
$$
Moreover, if there is a martingale $\left{\tilde{M}{n}\right}{n=0}^{\infty}$ with $\tilde{M}{0}=0$ and a predictable process $\left{\tilde{A}{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ such that $X_{n}=X_{0}+\tilde{M}{n}+\tilde{A}{n}, n \geqq 0$, then $\tilde{M}{n}=M{n}$ a.s. and $\tilde{A}{n}=A{n}$ a.s., $n \geqq 0$.
数学代写|随机分析作业代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|WELL-DEFINED
命题 2.4.1 让τ是一个停止时间$\tau$ be a stopping time and $\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}$ be an adapted stochastic process. Then a random variable $1_{{\tau<\infty}} X_{\tau}$ is $\mathcal{F}{\tau}$-measurable. Here $1{{\tau<\infty}} X_{\tau}$ is a random variable given by
$$
\left(1_{{\tau<\infty}} X_{\tau}\right)(\omega)=\left{\begin{array}{cl}
X_{n}(\omega), & \text { if } \tau(\omega)=n \in \mathbf{Z}{\geqq 0}, \ 0, & \text { if } \tau(\omega)=\infty \end{array}\right. $$ for $\omega \in \Omega$. Proof Our assertion follows from the fact that $1{(\tau<\infty)} X_{\tau}$ is well-defined and that
$$
\left{1_{{\tau<\infty}} X_{\tau} \in B\right} \cap{\tau=n}=\left{X_{n} \in B\right} \cap{\tau=n} \in \mathcal{F}{n}, \quad n \in \mathbf{Z}{\geqq 0}
$$
对于任何乙∈乙([−∞,∞]).
在这种情况下磷(τ<∞)=1我们表示1τ<∞Xτ经过Xτ为了符号的简单。
对于任何随机过程X=\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}X=\left{X_{n}\right}_{n=0}^{\infty}和Y=\left{Y_{n}\right}_{n=0}^{\infty}Y=\left{Y_{n}\right}_{n=0}^{\infty}，我们定义一个随机过程是∙X经过
(Y \bullet X){0}=0, \text { and }(Y \bullet X){n}=\sum_{k=1}^{n} Y_{k}\left(X_{k}-X_{k-1}\right), \quad n \geqq 1
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