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数学代考|凸分析作业代写Convex Analysis代考|Rademacher’s Theorem
We mentioned Rademacher’s fundamental theorem on the differentiability of Lipschitz functions in the context of the Intrinsic Clarke subdifferential formula (Theorem 6.2.5):
$$
\partial_{\circ} f(x)=\operatorname{conv}\left\{\lim _{r} \nabla \dot{f}\left(x^{r}\right) \mid x^{r} \rightarrow x, x^{r} \notin Q\right\}
$$
valid whenever the function $f: \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{R}$ is locally Lipschitz around the point $x \in \mathbf{E}$ and the set $Q \subset \mathbf{E}$ has measure zero. We prove Rademacher’s theorem in this section, taking a slight diversion into some basic measure theory.
数学代考|凸分析作业代写Convex Analysis代考|Proximal Normals and Chebyshev Sets
We introduced the Clarke normal cone in Section $6.3$ (Tangent Cones), via the Clarke subdifferential. An appealing alternative approach begins with a more geometric notion of a normal vector. We call a vector $y \in \mathbf{E}$ a proximal normal to a set $S \subset \mathbf{E}$ at a point $x \in S$ if, for some $t>0$, the nearest point to $x+t y$ in $S$ is $x$. The set of all such vectors is called the proximal normal cone, which we denote $N_{S}^{p}(x)$.
The proximal normal cone, which may not be convex, is contained in the Clarke normal cone (Exercise 3 ). The containment may be strict, but we can reconstruct the Clarke normal cone from proximal normals using the following result.
数学代考|凸分析作业代写Convex Analysis代考|Amenable Sets and Prox-Regularity
In the previous section we saw that nonempty closed convex subsets $S$ of the Euclidean space $\mathbf{E}$ are characterized by the attractive global property that every point in $\mathbf{E}$ has a unique nearest point in $S$. The corresponding local property is also a useful tool: we begin with a condition guaranteeing this property.
We call the closed set $S$ prox-regular at a point $\bar{x}$ in $S$ if there exists a constant $\rho>0$ such that all distinct points $x, x^{\prime} \in S$ near $\bar{x}$ and small vectors $v \in N_{S}(x)$ satisfy the inequality
$$
\left\langle v, x^{\prime}-x\right\rangle<\rho\left\|x^{\prime}-x\right\|^{2}
$$
Geometrically, this condition states that the ball centered at the point $x+\frac{1}{2 \rho} v$ containing the point $x$ on its boundary has interior disjoint from $S$.
数学代考|凸分析作业代写CONVEX ANALYSIS代考|RADEMACHER’S THEOREM
我们在 Intrinsic Clarke 次微分公式的背景下提到了关于 Lipschitz 函数可微性的 Rademacher 基本定理吨H和这r和米6.2.5:
∂∘F(X)=转化率{林r∇F˙(Xr)∣Xr→X,Xr∉问}
只要函数有效F:和→R在该点附近是局部 LipschitzX∈和和集合问⊂和测量为零。我们在本节证明 Rademacher 定理，稍微转移到一些基本的测度理论。
数学代考|凸分析作业代写CONVEX ANALYSIS代考|PROXIMAL NORMALS AND CHEBYSHEV SETS
我们在章节中介绍了克拉克法向锥6.3 吨一种nG和n吨C这n和s，通过克拉克次微分。一种吸引人的替代方法始于法线向量的更多几何概念。我们称向量是∈和集合的近端法线小号⊂和在某一点X∈小号如果，对于某些人吨>0, 最近的点X+吨是在小号是X. 所有这些向量的集合称为近端法向锥，我们将其表示为ñ小号p(X).
可能不是凸的近端法向锥包含在克拉克法向锥中和X和rC一世s和3. 包含可能是严格的，但我们可以使用以下结果从近端法线重建克拉克法线锥。
数学代考|凸分析作业代写CONVEX ANALYSIS代考|AMENABLE SETS AND PROX-REGULARITY
在上一节中，我们看到非空闭凸子集小号欧几里得空间和其特点是具有吸引力的全局属性，每个点和有一个唯一的最近点小号. 相应的局部属性也是一个有用的工具：我们从保证该属性的条件开始。
我们称闭集小号prox-regular at a pointX¯在小号如果存在一个常数ρ>0这样所有不同的点X,X′∈小号靠近X¯和小向量v∈ñ小号(X)满足不等式
⟨v,X′−X⟩<ρ‖X′−X‖2
从几何上看，这个条件表明球以该点为中心X+12ρv包含点X在其边界上与小号.
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更多内容请参阅另外一份复分析代写.