如果你也在 怎样代写计量经济学Econometrics是将统计方法应用于经济数据，以赋予经济关系以经验内容。更确切地说，它是 “基于理论和观察的同步发展，通过适当的推理方法对实际经济现象进行定量分析”。 一本经济学入门教科书将计量经济学描述为允许经济学家 “从堆积如山的数据中筛选出简单的关系”。
计量经济学Econometrics的一个基本工具是多元线性回归模型。计量经济学理论使用统计理论和数理统计来评估和发展计量经济学方法。计量经济学家试图找到具有理想统计特性的估计器，包括无偏性、效率和一致性。应用计量经济学使用理论计量经济学和现实世界的数据来评估经济理论，开发计量经济学模型，分析经济历史和预测。
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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Moment-Generating Functions
The moment-generating function of a bounded random variable $X$ (i.e., $P[|X| \leq$ $M]=1$ for some positive real number $M<\infty$ ) is defined as the function
$$
m(t)=E[\exp (t \cdot X)], t \in \mathbb{R},
$$
where the argument $t$ is nonrandom. More generally:
Definition 2.15: The moment generating function of a random vector $X$ in $\mathbb{R}^{k}$ is defined by $m(t)=E\left[\exp \left(t^{\mathrm{T}} X\right)\right]$ for $t \in \mathrm{T} \subset \mathbb{R}^{k}$, where $\mathrm{T}$ is the set of nonrandom vectors $t$ for which the moment-generating function exists and is finite.
For bounded random variables the moment-generating function exists and is finite for all values of $t$. In particular, in the univariate bounded case we can write
$$
m(t)=E[\exp (t \cdot X)]=E\left[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k} X^{k}}{k !}\right]=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k} E\left[X^{k}\right]}{k !} .
$$
It is easy to verify that the jth derivative of $m(t)$ is
$$
\begin{aligned}
m^{(j)}(t) &=\frac{d^{j} m(t)}{(d t)^{j}}=\sum_{k=j}^{\infty} \frac{t^{k-j} E\left[X^{k}\right]}{(k-j) !} \
&=E\left[X^{j}\right]+\sum_{k=j+1}^{\infty} \frac{t^{k-j} E\left[X^{k}\right]}{(k-j) !}
\end{aligned}
$$
hence, the $j$ th moment of $X$ is
$$
m^{(j)}(0)=E\left[X^{j}\right] .
$$
This is the reason for calling $m(t)$ the “moment-generating function.”
Although the moment-generating function is a handy tool for computing moments of a distribution, its actual importance arises because the shape of the moment-generating function in an open neighborhood of zero uniquely characterizes the distribution of a random variable. In order to show this, we need the following result.
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Characteristic Functions
The disadvantage of the moment-generating function is that it may not be finite in an arbitrarily small, open neighborhood of zero. For example, if $X$ has a standard Cauchy distribution, that is, $X$ has density
$$
f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)}
$$
then
$$
m(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \exp (t \cdot x) f(x) d x \begin{cases}=\infty & \text { if } t \neq 0 \ =1 & \text { if } t=0\end{cases}
$$
There are many other distributions with the same property as (2.37) (see Chapter $4)$; hence, the moment-generating functions in these cases are of no use for comparing distributions.
The solution to this problem is to replace $t$ in (2.31) with $i \cdot t$, where $i=\sqrt{-1}$. The resulting function $\varphi(t)=m(i \cdot t)$ is called the characteristic function of the random variable $X: \varphi(t)=E[\exp (i \cdot t \cdot X)]$, $t \in \mathbb{R}$. More generally,
Definition 2.16: The characteristic function of a random vector $X$ in $\mathbb{R}^{k}$ is defined by $\varphi(t)=E\left[\exp \left(i \cdot t^{\mathrm{T}} X\right)\right], t \in \mathbb{R}^{k}$, where the argument $t$ is nonrandom.
The characteristic function is bounded because $\exp (i \cdot x)=\cos (x)+i$. $\sin (x)$. See Appendix III. Thus, the characteristic function in Definition $2.16$ can be written as
$$
\varphi(t)=E\left[\cos \left(t^{\mathrm{T}} X\right)\right]+i \cdot E\left[\sin \left(t^{\mathrm{T}} X\right)\right], t \in \mathbb{R}^{k} .
$$
Note that by the dominated convergence theorem (Theorem 2.11), $\lim _{t \rightarrow 0} \varphi(t)=1=\varphi(0)$; hence, a characteristic function is always continuous in $t=0$.
Replacing moment-generating functions with characteristic functions, we find that Theorem $2.23$ now becomes
Theorem 2.24: Random variables or vectors have the same distribution if and only if their characteristic functions are identical.
计量经济学代写
经济代写|计量经济学代写ECONOMETRICS代考|MOMENT-GENERATING FUNCTIONS
有界随机变量的矩生成函数X 一世.和.,$磷[|X|≤$$米]=1$F这rs这米和p这s一世吨一世在和r和一种ln在米b和r$米<∞$被定义为函数
米(吨)=和[经验(吨⋅X)],吨∈R,
论据在哪里吨是非随机的。更一般地：
定义 2.15：随机向量的矩生成函数X在Rķ定义为米(吨)=和[经验(吨吨X)]为了吨∈吨⊂Rķ， 在哪里吨是非随机向量的集合吨其中矩生成函数存在且是有限的。
对于有界随机变量，矩生成函数存在并且对于所有的值都是有限的吨. 特别是，在单变量有界情况下，我们可以写
米(吨)=和[经验(吨⋅X)]=和[∑ķ=0∞吨ķXķķ!]=∑ķ=0∞吨ķ和[Xķ]ķ!.
很容易验证米(吨)是
米(j)(吨)=dj米(吨)(d吨)j=∑ķ=j∞吨ķ−j和[Xķ](ķ−j)! =和[Xj]+∑ķ=j+1∞吨ķ−j和[Xķ](ķ−j)!
因此，j时刻X是
米(j)(0)=和[Xj].
这就是打电话的原因米(吨)“力矩生成函数”。
尽管矩生成函数是计算分布矩的方便工具，但它的实际重要性之所以出现，是因为零的开放邻域中矩生成函数的形状唯一地表征了随机变量的分布。为了证明这一点，我们需要以下结果。
经济代写|计量经济学代写ECONOMETRICS代考|CHARACTERISTIC FUNCTIONS
矩生成函数的缺点是它在任意小的、开放的零邻域中可能不是有限的。例如，如果X有一个标准的柯西分布，即X有密度
F(X)=1圆周率(1+X2)
然后
米(吨)=∫−∞∞经验(吨⋅X)F(X)dX{=∞ 如果 吨≠0 =1 如果 吨=0
还有许多其他分布具有相同的性质2.37 s和和CH一种p吨和r$4$; 因此，这些情况下的矩生成函数对于比较分布没有用处。
这个问题的解决方法是更换吨在2.31和一世⋅吨， 在哪里一世=−1. 结果函数披(吨)=米(一世⋅吨)称为随机变量的特征函数X:披(吨)=和[经验(一世⋅吨⋅X)],吨∈R. 更普遍，
定义 2.16：随机向量的特征函数X在Rķ定义为披(吨)=和[经验(一世⋅吨吨X)],吨∈Rķ, 其中论点吨是非随机的。
特征函数是有界的，因为经验(一世⋅X)=因(X)+一世.罪(X). 见附录三。因此，定义中的特征函数2.16可以写成
披(吨)=和[因(吨吨X)]+一世⋅和[罪(吨吨X)],吨∈Rķ.
注意由支配收敛定理吨H和这r和米2.11,林吨→0披(吨)=1=披(0); 因此，特征函数总是连续的吨=0.
用特征函数代替矩生成函数，我们发现定理2.23现在变成
定理 2.24：当且仅当它们的特征函数相同时，随机变量或向量具有相同的分布。
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