如果你也在 怎样代写计量经济学Econometrics是将统计方法应用于经济数据，以赋予经济关系以经验内容。更确切地说，它是 “基于理论和观察的同步发展，通过适当的推理方法对实际经济现象进行定量分析”。 一本经济学入门教科书将计量经济学描述为允许经济学家 “从堆积如山的数据中筛选出简单的关系”。
计量经济学Econometrics的一个基本工具是多元线性回归模型。计量经济学理论使用统计理论和数理统计来评估和发展计量经济学方法。计量经济学家试图找到具有理想统计特性的估计器，包括无偏性、效率和一致性。应用计量经济学使用理论计量经济学和现实世界的数据来评估经济理论，开发计量经济学模型，分析经济历史和预测。
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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Chi-Square Distribution
Let $X_{1}, \ldots X_{n}$ be independent $N(0,1)$-distributed random variables, and let
$$
Y_{n}=\sum_{j=1}^{n} X_{j}^{2}
$$
The distribution of $Y_{n}$ is called the chi-square distribution with $n$ degrees of freedom and is denoted by $\chi_{n}^{2}$ or $\chi^{2}(n)$. Its distribution and density functions
can be derived recursively, starting from the case $n=1$ :
$$
\begin{aligned}
G_{1}(y) &=P\left[Y_{1} \leq y\right]=P\left[X_{1}^{2} \leq y\right]=P\left[-\sqrt{y} \leq X_{1} \leq \sqrt{y}\right] \
&=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x) d x=2 \int_{0}^{\sqrt{y}} f(x) d x \text { for } y>0 \
G_{1}(y) &=0 \text { for } y \leq 0
\end{aligned}
$$
where $f(x)$ is defined by (4.28); hence,
$$
\begin{aligned}
&g_{1}(y)=G_{1}^{\prime}(y)=f(\sqrt{y}) / \sqrt{y}=\frac{\exp (-y / 2)}{\sqrt{y} \sqrt{2 \pi}} \text { for } y>0 \
&g_{1}(y)=0 \quad \text { for } \quad y \leq 0
\end{aligned}
$$
Thus, $g_{1}(y)$ is the density of the $\chi_{1}^{2}$ distribution. The corresponding momentgenerating function is
$$
m_{\chi_{1}^{2}}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-2 t}} \text { for } t<1 / 2,
$$
and the characteristic function is
$$
\varphi_{\chi_{1}^{2}}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-2 \cdot i \cdot t}}=\frac{\sqrt{1+2 \cdot i \cdot t}}{\sqrt{1+4 \cdot t^{2}}} .
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Student’s t Distribution
Let $X \sim N(0,1)$ and $Y_{n} \sim \chi_{n}^{2}$, where $X$ and $Y_{n}$ are independent. Then the distribution of the random variable
$$
T_{n}=\frac{X}{\sqrt{Y_{n} / n}}
$$
is called the (Student’s $\left.{ }^{2}\right) t$ distribution with $n$ degrees of freedom and is denoted by $t_{n}$.
The conditional density $h_{n}(x \mid y)$ of $T_{n}$ given $Y_{n}=y$ is the density of the $N(1, n / y)$ distribution; hence, the unconditional density of $T_{n}$ is
$$
\begin{aligned}
h_{n}(x) &=\int_{0}^{\infty} \frac{\exp \left(-\left(x^{2} / n\right) y / 2\right)}{\sqrt{n / y} \sqrt{2 \pi}} \times \frac{y^{n / 2-1} \exp (-y / 2)}{\Gamma(n / 2) 2^{n / 2}} d y \
&=\frac{\Gamma((n+1) / 2)}{\sqrt{n \pi} \Gamma(n / 2)\left(1+x^{2} / n\right)^{(n+1) / 2}}
\end{aligned}
$$
The expectation of $T_{n}$ does not exist if $n=1$, as we will see in the next subsection, and is zero for $n \geq 2$ by symmetry. Moreover, the variance of $T_{n}$ is infinite for $n=2$, whereas for $n \geq 3$,
$$
\operatorname{var}\left(T_{n}\right)=E\left[T_{n}^{2}\right]=\frac{n}{n-2} .
$$
See Appendix 4.A.
The moment-generating function of the $t_{n}$ distribution does not exist, but its characteristic function does, of course:
$$
\begin{aligned}
\varphi_{t_{n}}(t) &=\frac{\Gamma((n+1) / 2)}{\sqrt{n \pi} \Gamma(n / 2)} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\exp (i t \cdot x)}{\left(1+x^{2} / n\right)^{(n+1) / 2}} d x \
&=\frac{2 \cdot \Gamma((n+1) / 2)}{\sqrt{n \pi} \Gamma(n / 2)} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (t \cdot x)}{\left(1+x^{2} / n\right)^{(n+1) / 2}} d x .
\end{aligned}
$$
经济代写|计量经济学代写ECONOMETRICS代考|The Standard Cauchy Distribution
The $t_{1}$ distribution is also known as the standard Cauchy distribution. Its density is
$$
h_{1}(x)=\frac{\Gamma(1)}{\sqrt{\pi} \Gamma(1 / 2)\left(1+x^{2}\right)}=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)},
$$
where the second equality follows from (4.36), and its characteristic function is
$$
\varphi_{t_{1}}(t)=\exp (-|t|)
$$
The latter follows from the inversion formula for characteristic functions:
$$
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \exp (-i \cdot t \cdot x) \exp (-|t|) d t=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)}
$$
See Appendix 4.A. Moreover, it is easy to verify from (4.39) that the expectation of the Cauchy distribution does not exist and that the second moment is infinite.
经济代写|计量经济学代写ECONOMETRICS代考|The F Distribution
Let $X_{m} \sim \chi_{m}^{2}$ and $Y_{n} \sim \chi_{n}^{2}$, where $X_{m}$ and $Y_{n}$ are independent. Then the distribution of the random variable
$$
F=\frac{X_{m} / m}{Y_{n} / n}
$$
is said to be $F$ with $m$ and $n$ degrees of freedom and is denoted by $F_{m, n}$. Its distribution function is
$$
\begin{aligned}
H_{m, n}(x)=& P[F \leq x] \
=& \int_{0}^{\infty}\left(\int_{0}^{m \cdot x \cdot y / n} \frac{z^{m / 2-1} \exp (-z / 2)}{\Gamma(m / 2) 2^{m / 2}} d z\right) \
& \times \frac{y^{n / 2-1} \exp (-y / 2)}{\Gamma(n / 2) 2^{n / 2}} d y, \quad x>0,
\end{aligned}
$$
and its density is
$$
h_{m, n}(x)=\frac{m^{m / 2} \Gamma(m / 2+n / 2) x^{m / 2-1}}{n^{m / 2} \Gamma(m / 2) \Gamma(n / 2)[1+m \cdot x / n]^{m / 2+n / 2}}, \quad x>0
$$
Moreover, it is shown in Appendix 4.A that
$$
\begin{aligned}
E[F] &=n /(n-2) & & \text { if } n \geq 3 \
&=\infty & & \text { if } n=1,2 \
\operatorname{var}(F) &=\frac{2 n^{2}(m+n-4)}{m(n-2)^{2}(n-4)} & & \text { if } n \geq 5 \
&=\infty & & \text { if } n=3,4 \
&=\text { not defined } & & \text { if } n=1,2
\end{aligned}
$$
Furthermore, the moment-generating function of the $F_{m, n}$ distribution does not exist, and the computation of the characteristic function is too tedious an exercise and is therefore omitted.
计量经济学代写
经济代写|计量经济学代写ECONOMETRICS代考|THE CHI-SQUARE DISTRIBUTION
让X1,…Xn独立ñ(0,1)- 分布随机变量，并让
是n=∑j=1nXj2
的分布是n称为卡方分布n自由度，表示为χn2或者χ2(n). 它的分布和密度函数
可以递归推导，从case开始n=1:
G1(是)=磷[是1≤是]=磷[X12≤是]=磷[−是≤X1≤是] =∫−是是F(X)dX=2∫0是F(X)dX 为了 是>0 G1(是)=0 为了 是≤0
在哪里F(X)定义为4.28; 因此，
G1(是)=G1′(是)=F(是)/是=经验(−是/2)是2圆周率 为了 是>0 G1(是)=0 为了 是≤0
因此，G1(是)是密度χ12分配。相应的矩生成函数是
米χ12(吨)=11−2吨 为了 吨<1/2,
并且特征函数是
披χ12(吨)=11−2⋅一世⋅吨=1+2⋅一世⋅吨1+4⋅吨2.
经济代写|计量经济学代写ECONOMETRICS代考|THE STUDENT’S T DISTRIBUTION
让X∼ñ(0,1)和是n∼χn2， 在哪里X和是n是独立的。那么随机变量的分布
吨n=X是n/n
被称为学生的 $\left.{ }^{2}\right学生的 $\left.{ }^{2}\right吨d一世s吨r一世b在吨一世这n在一世吨Hnd和Gr和和s这FFr和和d这米一种nd一世sd和n这吨和db是t_{n}$。
条件密度Hn(X∣是)的吨n给定是n=是是密度ñ(1,n/是)分配; 因此，无条件的密度吨n是
Hn(X)=∫0∞经验(−(X2/n)是/2)n/是2圆周率×是n/2−1经验(−是/2)Γ(n/2)2n/2d是 =Γ((n+1)/2)n圆周率Γ(n/2)(1+X2/n)(n+1)/2
的期望吨n如果不存在n=1，正如我们将在下一小节中看到的那样，并且对于n≥2通过对称。此外，方差吨n是无限的n=2, 而对于n≥3,
曾是(吨n)=和[吨n2]=nn−2.
见附录 4.A。
矩生成函数吨n分布不存在，但其特征函数当然存在：
披吨n(吨)=Γ((n+1)/2)n圆周率Γ(n/2)∫−∞∞经验(一世吨⋅X)(1+X2/n)(n+1)/2dX =2⋅Γ((n+1)/2)n圆周率Γ(n/2)∫0∞因(吨⋅X)(1+X2/n)(n+1)/2dX.
经济代写|计量经济学代写ECONOMETRICS代考|THE STANDARD CAUCHY DISTRIBUTION
这吨1分布也称为标准柯西分布。它的密度是
H1(X)=Γ(1)圆周率Γ(1/2)(1+X2)=1圆周率(1+X2),
其中第二个等式来自4.36, 其特征函数为
披吨1(吨)=经验(−|吨|)
后者来自特征函数的反演公式：
12圆周率∫−∞∞经验(−一世⋅吨⋅X)经验(−|吨|)d吨=1圆周率(1+X2)
见附录 4.A。此外，很容易从4.39柯西分布的期望不存在，并且二阶矩是无限的。
经济代写|计量经济学代写ECONOMETRICS代考|THE F DISTRIBUTION
让X米∼χ米2和是n∼χn2， 在哪里X米和是n是独立的。那么随机变量的分布
F=X米/米是n/n
据说是F和米和n自由度，表示为F米,n. 其分布函数为
H米,n(X)=磷[F≤X] =∫0∞(∫0米⋅X⋅是/n和米/2−1经验(−和/2)Γ(米/2)2米/2d和) ×是n/2−1经验(−是/2)Γ(n/2)2n/2d是,X>0,
它的密度是
H米,n(X)=米米/2Γ(米/2+n/2)X米/2−1n米/2Γ(米/2)Γ(n/2)[1+米⋅X/n]米/2+n/2,X>0
此外，附录 4.A 显示
和[F]=n/(n−2) 如果 n≥3 =∞ 如果 n=1,2 曾是(F)=2n2(米+n−4)米(n−2)2(n−4) 如果 n≥5 =∞ 如果 n=3,4 = 没有定义的 如果 n=1,2
此外，矩生成函数F米,n分布不存在，特征函数的计算过于繁琐，故省略。
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