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数学代写|matlab代写|Systems of Linear Algebraic Equations

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数学代写|matlab代写|Systems of Linear Algebraic Equations

数学代写|matlab代写|Introduction

In this chapter we look at the solution of $n$ linear, algebraic equations in $n$ unknowns. It is by far the longest and arguably the most important topic in the book. There is a good reason for this-it is almost impossible to carry out numerical analysis of any sort without encountering simultaneous equations. Moreover, equation sets arising from physical problems are often very large, consuming a lot of computational resources. It usually possible to reduce the storage requirements and the run time by exploiting special properties of the coefficient matrix, such as sparseness (most elements of a sparse matrix are zero). Hence there are many algorithms dedicated to the solution of large sets of equations, each one being tailored to a particular form of the coefficient matrix (symmetric, banded, sparse, etc.). A well-known collection of these routines is LAPACK – Linear Algebra PACKage, originally written in Fortran $77^{1}$.

We cannot possibly discuss all the special algorithms in the limited space available. The best we can do is to present the basic methods of solution, supplemented by a few useful algorithms for banded and sparse coefficient matrices.

数学代写|matlab代写|Gauss Elimination Method

Gauss elimination is the most familiar method for solving simultaneous equations. It consists of two parts: the elimination phase and the solution phase. As indicated in Table 2.1, the function of the elimination phase is to transform the equations into the form $U x=c$. The equations are then solved by back substitution. In order to illustrate

the procedure, let us solve the equations
$$
\begin{gathered}
4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=11 \
-2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}=-16 \
x_{1}-2 x_{2}+4 x_{3}=17
\end{gathered}
$$
Elimination phase The elimination phase utilizes only one of the elementary operations listed in Table 2.1-multiplying one equation (say, equation $j$ ) by a constant $\lambda$ and subtracting it from another equation (equation $i$ ). The symbolic representation of this operation is
$$
\text { Eq. }(i) \leftarrow \text { Eq. }(i)-\lambda \times \text { Eq. }(j)
$$
The equation being subtracted, namely Eq. $(j)$, is called the pivot equation.
We start the elimination by taking Eq. (a) to be the pivot equation and choosing the multipliers $\lambda$ so as to eliminate $x_{1}$ from Eqs. (b) and (c):
$$
\begin{aligned}
&\text { Eq. (b) } \leftarrow \text { Eq. (b) }-(-0.5) \times \text { Eq. (a) } \
&\text { Eq. (c) } \leftarrow \text { Eq. (c) }-0.25 \times \text { Eq. (a) }
\end{aligned}
$$
After this transformation, the equations become
$$
\begin{aligned}
4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3} &=11 \
3 x_{2}-1.5 x_{3} &=-10.5 \
-1.5 x_{2}+3.75 x_{3} &=14.25
\end{aligned}
$$
This completes the first pass. Now we pick (b) as the pivot equation and eliminate $x_{2}$ from (c):
$$
\text { Eq. (c) } \leftarrow \text { Eq. (c) }-(-0.5) \times \text { Eq. (b) }
$$
which yields the equations
$$
\begin{aligned}
4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3} &=11 \
3 x_{2}-1.5 x_{3} &=-10.5 \
3 x_{3} &=9
\end{aligned}
$$

数学代写|MATLAB代写|LU Decomposition Methods

It is possible to show that any square matrix A can be expressed as a product of a lower triangular matrix L and an upper triangular matrix $\mathbf{U}$ :
$$
\mathbf{A}=\mathbf{L U}
$$
The process of computing $\mathbf{L}$ and $\mathbf{U}$ for a given A is known as $L U$ decomposition or $L U$ factorization. LU decomposition is not unique (the combinations of $\mathbf{L}$ and $\mathbf{U}$ for a prescribed A are endless), unless certain constraints are placed on L or U. These constraints distinguish one type of decomposition from another. Three commonly used decompositions are listed in Table 2.2.
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline Name & Constraints \
\hline \hline Doolittle’s decomposition & $L_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \
\hline Crout’s decomposition & $U_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \
\hline Choleski’s decomposition & $\mathbf{L}=\mathbf{U}^{T}$ \
\hline
\end{tabular}
Table $2.2$
After decomposing $\mathbf{A}$, it is easy to solve the equations $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$, as pointed out in Art. 2.1. We first rewrite the equations as $\mathbf{L U x}=\mathbf{b}$. Upon using the notation $\mathbf{U x}=\mathbf{y}$, the equations become
$$
\text { Ly }=\mathbf{b}
$$

数学代写|matlab代写|Systems of Linear Algebraic Equations

matlab代写

数学代写|MATLAB代写|INTRODUCTION

在本章中,我们看看解决方案n线性代数方程n未知数。这是迄今为止最长的,可以说是本书中最重要的主题。这有一个很好的理由——几乎不可能在不遇到联立方程的情况下进行任何类型的数值分析。此外,由物理问题产生的方程组通常非常大,消耗大量计算资源。通常可以通过利用系数矩阵的特殊属性(例如稀疏性)来减少存储需求和运行时间米这s吨和l和米和n吨s这F一种sp一种rs和米一种吨r一世X一种r和和和r这. 因此,有许多算法专门用于求解大型方程组,每一种算法都针对特定形式的系数矩阵进行定制s是米米和吨r一世C,b一种nd和d,sp一种rs和,和吨C.. 这些例程的一个著名集合是 LAPACK – 线性代数包,最初用 Fortran 编写771.

我们不可能在有限的可用空间中讨论所有特殊算法。我们能做的最好的就是介绍基本的求解方法,并辅以一些用于带状和稀疏系数矩阵的有用算法。

数学代写|MATLAB代写|GAUSS ELIMINATION METHOD

高斯消元法是求解联立方程最常见的方法。它由两部分组成:消除阶段和解决阶段。如表 2.1 所示,消元阶段的作用是将方程转化为在X=C. 然后通过反向替换求解方程。为了说明

程序,让我们求解方程
4X1−2X2+X3=11 −2X1+4X2−2X3=−16 X1−2X2+4X3=17
消除阶段 消除阶段仅使用表 2.1 中列出的基本运算之一——乘以一个方程s一种是,和q在一种吨一世这n$j$由一个常数λ并从另一个方程中减去它和q在一种吨一世这n$一世$. 这个操作的符号表示是
 方程。 (一世)← 方程。 (一世)−λ× 方程。 (j)
被减去的方程,即方程。(j), 称为枢轴方程。
我们通过采用等式开始消除。一种成为枢轴方程并选择乘数λ从而消除X1从方程式。b和C:
 方程。(二) ← 方程。(二) −(−0.5)× 方程。(一种)   方程。(C) ← 方程。(C) −0.25× 方程。(一种) 
经过这种变换,方程变为
4X1−2X2+X3=11 3X2−1.5X3=−10.5 −1.5X2+3.75X3=14.25
这样就完成了第一遍。现在我们选择b作为枢轴方程并消除X2从C:
 方程。(C) ← 方程。(C) −(−0.5)× 方程。(二) 
产生方程
4X1−2X2+X3=11 3X2−1.5X3=−10.5 3X3=9

数学代写|MATLAB代写|LU DECOMPOSITION METHODS

可以证明,任何方阵 A 都可以表示为下三角矩阵 L 和上三角矩阵的乘积在 :
一种=大号在
计算过程大号和在对于给定的 A 称为大号在分解或大号在因式分解。LU分解不是唯一的吨H和C这米b一世n一种吨一世这ns这F$大号$一种nd$在$F这r一种pr和sCr一世b和d一种一种r和和ndl和ss,除非对 L 或 U 施加了某些约束。这些约束将一种分解类型与另一种分解类型区分开来。表 2.2 列出了三种常用的分解方法。
\begin{tabular}{|l|l|} \hline Name & Constraints \ \hline \hline Doolittle 的分解 & $L_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \ \hline Crout’s分解 & $U_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \ \hline Choleski 分解 & $\mathbf{L}=\mathbf{U}^{T}$ \ \hline \结束{表格}\begin{tabular}{|l|l|} \hline Name & Constraints \ \hline \hline Doolittle 的分解 & $L_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \ \hline Crout’s分解 & $U_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \ \hline Choleski 分解 & $\mathbf{L}=\mathbf{U}^{T}$ \ \hline \结束{表格}
桌子2.2
分解后一种, 很容易解方程一种X=b,正如艺术中指出的那样。2.1。我们首先将方程改写为大号在X=b. 使用符号时在X=是,方程变为
 赖 =b

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