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数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考|Hilbert Spaces and Their Operators

如果你也在 怎样代写泛函分析functional analysis这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。泛函分析functional analysis是数学分析的一个分支,其核心是研究具有某种极限相关结构(如内积、规范、拓扑等)的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究,以及对函数变换属性的表述,例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。

泛函分析functional analysis这个词作为一个名词的用法可以追溯到变分学,意味着一个参数是函数的函数。这个词最早是在哈达玛德1910年关于该主题的书中使用的。然而,函数的一般概念早在1887年就由意大利数学家和物理学家Vito Volterra提出。非线性函数的理论由Hadamard的学生,特别是Fréchet和Lévy继续研究。哈达玛德还创立了现代线性函数分析学派,该学派由里耶兹和斯特凡-巴纳赫周围的波兰数学家小组进一步发展。

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非线性方法 nonlinear method functional analysis

变分法 Calculus of Variations

数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考|Hilbert Spaces and Their Operators

数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考|Definition, Examples and Basic Properties

From now on, $\mathbf{F}$ still denotes the field of real or complex numbers.
Definition 10.1.1. Let $X$ be a linear space over $\mathbf{F}$. An inner product on $X$ is $a$ $\operatorname{map}(x, y) \mapsto\langle x, y\rangle$ from $X \times X$ to $\mathbf{F}$ such that:
(a) $\langle\alpha x+\beta y, z\rangle=\alpha\langle x, z\rangle+\beta\langle y, z\rangle$ for all $x, y, z \in X$ and for all $\alpha, \beta \in \mathbf{F}$;
(b) $\langle y, x\rangle=\overline{\langle x, y\rangle}$ for all $x, y \in X$;
(c) $\langle x, x\rangle \geq 0$ for all $x \in X$ and $\langle x, x\rangle=0$ if and only if $x=0$.
If $X$ is equipped with $\langle\cdot, \cdot\rangle$, then it is called an inner product space or a preHilbert space over $\mathbf{F}$.

Note that the bar signifies complex conjugation – of course, if the scalar field is $\mathbf{R}$ then the axiom (b) is simply $\langle y, x\rangle=\langle x, y\rangle$. So we will refer to real or complex Hilbert spaces depending on whether $\mathbf{F}$ is $\mathbf{R}$ or $\mathbf{C}$.

数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考|Orthogonality, Orthogonal Complement and Duality

First of all, let us consider orthogonality.
Definition 10.2.1. Let $X$ be a Hilbert space over $\mathbf{F}$.
(i) The angle between two vectors $x, y \in X$ is defined by
$$
\theta_{x, y}=\left{\begin{array}{l}
0, \text { x or } y=0 \
\arccos \frac{\Re\langle x, y\rangle}{|x| y||}, \text { otherwise }
\end{array} .\right.
$$
(ii) Two vectors $x, y \in X$ are called orthogonal, denoted $x \perp y$, provided $\langle x, y\rangle=0$.
(iii) For any subset $S$ of $X$, the set $S^{\perp}={x \in X:\langle x, y\rangle=0$ for all $y \in S}$ is called the orthogonal complement of $S$.

数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Orthonormal Sets and Bases

To better understand the structure of a Hilbert space, in this section we consider the concepts of orthonormal sets and bases.
Hilbert Spaces and Their Operators
305
Definition 10.3.1. Let $X$ be a Hilbert space over $\mathbf{F}$. A set $S \subseteq X$ is called orthogonal if any two different elements in $S$ are orthogonal. An orthonormal set is an orthogonal set consisting entirely of elements of norm $1 .$

A constructive method of orthonormalizing a set of vectors in a Hilbert space is the Gram-Schmidt process, named for Jørgen Pedersen Gram and Erhard Schmidt, as follows.

Theorem 10.3.2. Let $\left{x_{j}\right}_{j=1}^{\infty}$ be a countable linearly independent set of a Hilbert space $X$ over $\mathbf{F}$. Then a countable orthonormal set $\left{e_{j}\right}$ can be constructed so that
$$
\operatorname{span}\left{e_{j}\right}_{j=1}^{n}=\operatorname{span}\left{x_{j}\right}_{j=1}^{n} \text { for all } n \in \mathbf{N}
$$

数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考|Hilbert Spaces and Their Operators

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|DEFINITION, EXAMPLES AND BASIC PROPERTIES

今后,F仍然表示实数或复数的域。
定义 10.1.1。让X是一个线性空间F. 内积X是一种 地图⁡(X,是)↦⟨X,是⟩从X×X到F这样:
一种 ⟨一种X+b是,和⟩=一种⟨X,和⟩+b⟨是,和⟩对全部X,是,和∈X并为所有人一种,b∈F;
b ⟨是,X⟩=⟨X,是⟩¯对全部X,是∈X;
C ⟨X,X⟩≥0对全部X∈X和⟨X,X⟩=0当且仅当X=0.
如果X配备⟨⋅,⋅⟩,则称为内积空间或前希尔伯特空间F.

请注意,条表示复共轭——当然,如果标量场是R那么公理b简直就是⟨是,X⟩=⟨X,是⟩. 因此,我们将根据是否引用实数或复数希尔伯特空间F是R或者C.

数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|ORTHOGONALITY, ORTHOGONAL COMPLEMENT AND DUALITY

首先,让我们考虑正交性。
定义 10.2.1。让X是一个希尔伯特空间F.
一世两个向量之间的角度X,是∈X由
$$
\theta_{x, y}=\left{ 定义0, x 或 是=0 阿尔科斯⁡ℜ⟨X,是⟩|X|是||, 除此以外 。\对。
$$
一世一世两个向量X,是∈X称为正交,表示X⊥是, 假如⟨X,是⟩=0.
一世一世一世对于任何子集小号的X, 集合小号⊥=X∈X:⟨X,是⟩=0$F这r一种ll$是∈小号称为正交补小号.

数学代写|泛函分析作业代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|ORTHONORMAL SETS AND BASES

为了更好地理解希尔伯特空间的结构,在本节中,我们考虑正交集和基的概念。
希尔伯特空间及其算子
305
定义 10.3.1。让X是一个希尔伯特空间F. 一套小号⊆X如果有任意两个不同的元素,则称为正交小号是正交的。正交集是完全由范数元素组成的正交集1.

在希尔伯特空间中对一组向量进行正交归一化的一种构造方法是 Gram-Schmidt 过程,以 Jørgen Pedersen Gram 和 Erhard Schmidt 命名,如下所示。

定理 10.3.2。让\left{x_{j}\right}_{j=1}^{\infty}\left{x_{j}\right}_{j=1}^{\infty}是希尔伯特空间的可数线性独立集X超过F. 然后是可数正交集\left{e_{j}\right}\left{e_{j}\right}可以构造成
\$$
\operatorname{span}\left{e_{j}\right}_{j=1}^{n}=\operatorname{span}\left{x_{j}\right}_{j=1}^{n} \text { for all } n \in \mathbf{N}
$$

数学代写|泛函分析作业代写functional analysis代考

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