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# 数学代写|微积分代考calculus assignment|The Integral

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## 数学代写|微积分代考calculus assignment|Towards a definition of the integral

A formal constructive definition of the Newton integral used in the calculus is possible, using the following simple concepts:

• Cousin cover of a compact interval $[a, b]$.
• Partition of a compact interval $[a, b]$.
• Riemann sum over a partition.
We introduce a new word, integrable, that applies to those functions for which a certain procedure applies. To date we have merely described integrals by using the relation
$$\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)$$
available when an indefinite integral $F$ happens to be available.

## 数学代写|微积分代考calculus assignment|Formal constructive definition of the integral

Note that the function $f$ being integrated in the constructive ${ }^{1}$ definition that we now give must be defined at all points of the interval $[a, b]$ in order for this definition to be interpreted. In our descriptive theory we could ignore a negligible set. Here it will be a theorem (not part of the definition) that a negligible set can be ignored.

Suppose that $f$ is a function defined everywhere on an interval $[a, b]$. Then $f$ is said to be integrable on $[a, b]$ provided that there is a real number $c$ with the following property: for every $\epsilon>0$ it is possible to select a Cousin cover ${ }^{2}$ $\beta$ of the interval $[a, b]$ in such a way that
$$\left|\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right)\left(b_{i}-a_{i}\right)-c\right|<\epsilon$$
for every partition
$$\pi=\left{\left(\left[a_{i}, b_{i}\right], \xi_{i}\right): i=1,2, \ldots, n\right}$$
of the interval $[a, b]$ chosen from $\beta$. In that case we will write
$$\int_{a}^{b} f(x) d x=c$$
and call this the definite integral of f on [a, b].

## 数学代写|微积分代考CALCULUS ASSIGNMENT|Relation with Newton’s integral

Our very first task must be to establish that this integral includes all of the methods we have been using so far. Note that the first three conditions are contained in the fourth condition which describes the most general Newton integral.
THEOREM 5.2. Let $F$ and $f$ be functions defined on a compact interval $[a, b]$. Suppose that $F$ is continuous on $[a, b]$ and that one of the four following conditions holds:
(a) $F^{\prime}(x)=f(x)$ for every $a<x<b$.
(b) $F^{\prime}(x)=f(x)$ for every $a<x<b$ with finitely many exceptions.
(c) There is a sequence of points $e_{1}, e_{2}, e_{3}, \ldots$ from the interval $[a, b]$ and $F^{\prime}(x)=f(x)$ at every point of $(a, b)$ with possibly the exception of the points $e_{1}, e_{2}, e_{3}, \ldots$
(d) $F^{\prime}(x)=f(x)$ for every $a<x<b$ excepting possibly some null subset $N$ of $(a, b)$ and the function $F$ does not grow on $N$.
Then $f$ is integrable on $[a, b]$ and
$$\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a) .$$

## 数学代写|微积分代考CALCULUS ASSIGNMENT|TOWARDS A DEFINITION OF THE INTEGRAL

• 紧凑区间的表弟封面[一种,b].
• 紧区间的划分[一种,b].
• 黎曼对一个分区求和。
我们引入了一个新词，可积，它适用于特定过程适用的那些函数。迄今为止，我们仅使用关系式描述了积分
∫一种bF(X)dX=F(b)−F(一种)
不定积分时可用F恰好可用。

## 数学代写|微积分代考CALCULUS ASSIGNMENT|FORMAL CONSTRUCTIVE DEFINITION OF THE INTEGRAL

|∑一世=1nF(X一世)(b一世−一种一世)−C|<ε

\pi=\left{\left(\left[a_{i}, b_{i}\right], \xi_{i}\right): i=1,2, \ldots, n\right}\pi=\left{\left(\left[a_{i}, b_{i}\right], \xi_{i}\right): i=1,2, \ldots, n\right}

∫一种bF(X)dX=C

## 数学代写|微积分代考CALCULUS ASSIGNMENT|RELATION WITH NEWTON’S INTEGRAL

b F′(X)=F(X)对于每个一种<X<b有有限多的例外。
C有一系列的点和1,和2,和3,…从区间[一种,b]和F′(X)=F(X)在每一点(一种,b)可能除了点和1,和2,和3,…
d F′(X)=F(X)对于每个一种<X<b可能除了一些空子集ñ的(一种,b)和功能F不生长ñ.

∫一种bF(X)dX=F(b)−F(一种).

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。