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金融数学financial mathematics过去，金融领域内的数学和统计学的使用一直在大幅增加，这样的趋势预计会继续下去。各种类型的组织和金融服务提供商都在利用金融数学作为其核心业务的一部分，例如：投资银行、零售和商业银行、对冲基金、投资管理公司、公司财务部、监管机构。此外，金融数学被大量应用于解决各种问题，例如：衍生证券的定价和估价、投资组合的建立和结构化、量化投资策略、风险管理。
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Consider $t>s \geq u>r$. Then (5.1.1) allows us to write
$$
\begin{aligned}
&E\left[\left(B_{t}-B_{s}\right)\left(B_{u}-B_{r}\right)\right] \
&=E\left(B_{t}^{H} B_{u}^{H}\right)-E\left(B_{t}^{H} B_{r}^{H}\right)-B_{s}^{H} B_{u}^{H}+E\left(B_{s}^{H} B_{r}^{H}\right) \
&=\frac{1}{2}\left(t^{2 H}+u^{2 H}-(t-u)^{2 H}\right) \
&-\frac{1}{2}\left(t^{2 H}+r^{2 H}-(t-r)^{2 H}\right) \
&-\frac{1}{2}\left(s^{2 H}+u^{2 H}-(s-u)^{2 H}\right) \
&+\frac{1}{2}\left(s^{2 H}+r^{2 H}-(s-r)^{2 H}\right) \
&=\frac{1}{2}\left(-(t-u)^{2 H}+(t-r)^{2 H}+(s-u)^{2 H}-(s-r)^{2 H}\right)
\end{aligned}
$$
If $H=\frac{1}{2}$, the above quantity is equal to zero, according to the fact that the Brownian motion has independent increments. If $H \neq \frac{1}{2}$
$$
\begin{aligned}
&E\left[\left(B_{t}^{H}-B_{s}^{H}\right)\left(B_{u}^{H}-B_{r}^{H}\right)\right] \
&=H(2 H-1) \int_{r}^{u}\left(\int_{s}^{t}(\tau-\theta)^{2 H-2} d \tau\right) d \theta
\end{aligned}
$$
Notice that this quantity is positive if $H>\frac{1}{2}$, while it is negative otherwise. That is, the fBm has negatively correlated increments if $H<\frac{1}{2}$ (then the fBm is counterpersistent), and positively correlated increments if $H>\frac{1}{2}$ (then the $\mathrm{fBm}$ is persistent). In practice, this means that if the last increment has been negative (positive), it is more likely the next one to be positive (negative) if $H<\frac{1}{2}$ and negative (positive) if $H>\frac{1}{2}$.
金融代写|金融数学代写financial mathematics代考|Long and short memory
Denote $X_{n}=B_{n}^{H}-B_{n-1}^{H}$ and define
$$
\rho_{H}(n):=\operatorname{Cov}\left(X_{1}^{H}, X_{n+1}^{H}\right)=\operatorname{Corr}\left(X_{1}^{H}, X_{n+1}^{H}\right) .
$$
Then, we have
$$
\begin{aligned}
\rho_{H}(n) &=E\left(B_{1}^{H}\left(B_{n+1}^{H}-B_{n}^{H}\right)\right) \
&=\frac{1}{2}\left(1^{2 H}+(n+1)^{2 H}-n^{2 H}\right) \
&-\frac{1}{2}\left(1^{2 H}+n^{2 H}-(n-1)^{2 H}\right) \
&=\frac{1}{2}\left((n+1)^{2 H}+(n-1)^{2 H}-2 n^{2 H}\right)
\end{aligned}
$$
We can observe the behaviour of $\rho_{H}$ for different values of $H$ in Figure 5.2. Moreover, we can see that
$$
\rho_{H}(n) \approx H(2 H-1) n^{2 H-2}
$$
If $H>\frac{1}{2}$, the power $2 H-2>-1$, and then the $\operatorname{sum} \sum_{n=1}^{\infty} \rho_{H}(n)=\infty$. Then, we say the fBm is long memory. If $H<\frac{1}{2}$, this sum is finite, and we say the $\mathrm{fBm}$ is short memory.
金融代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|Stationary increments and self-similarity
Take $t>s \geq 0$. Then for every $\tau \in \mathbb{R}$ we have that $E\left[\left(B_{t+\tau}^{H}-B_{s+\tau}^{H}\right)^{2}\right]=$ $(t-s)^{2 H}$. That is, this variance does not depend on $\tau$. As all the increments are Gaussian and centred, this result implies that the law of an increment $B_{t}^{H}-B_{s}^{H}$ depends only on $t-s$. Then we say the increments are stationary.
On the other hand, a direct computation gives us that, for all $a>0$, the distribution of the random process $\left{B_{a t}^{H}, t \geq 0\right}$ is the same as the distribution of $\left{a^{H} B_{t}^{H}, t \geq 0\right}$. Then we say that $B^{H}$ is statistically self-similar.
金融代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|STATIONARY INCREMENTS AND SELF-SIMILARITY
Take $t>s$. Notice that, as $B_{t}-B_{s}$ is a centred Gaussian random variable with variance equal to $(t-s)^{2 H}$, if follows that
$$
E\left|B_{t}-B_{s}\right|^{p}=\frac{2^{\frac{p}{2}} \Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}}(t-s)^{p H} .
$$
Then, the Kolmorogov’s continuity criteria gives us that there exists a continuous modification of the fBm such that this continuous modification is $\lambda$-Hölder continuous for every $\lambda \in\left(0, \frac{p H-1}{p}\right)$. Now, letting $p \rightarrow \infty$, we get that it is Hölder continuous for every $\lambda<H$. For the sake of simplicity, $B^{H}$ denotes, in the sequel, this continuous modification.
The above computations show that the Hölder continuity of $B^{H}$ depends on $H$ and that the paths are smoother for bigger values of $H$. In Figure $5.3$ we can observe several simulations of fBm paths corresponding to different values of the Hurst parameters $H$.
金融数学代写
金融代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|CORRELATED INCREMENTS
考虑吨>s≥在>r. 然后5.1.1允许我们写
$$
\begin{aligned}
&E\left[\left(B_{t}-B_{s}\right)\left(B_{u}-B_{r}\right)\right] \
&=E\left(B_{t}^{H} B_{u}^{H}\right)-E\left(B_{t}^{H} B_{r}^{H}\right)-B_{s}^{H} B_{u}^{H}+E\left(B_{s}^{H} B_{r}^{H}\right) \
&=\frac{1}{2}\left(t^{2 H}+u^{2 H}-(t-u)^{2 H}\right) \
&-\frac{1}{2}\left(t^{2 H}+r^{2 H}-(t-r)^{2 H}\right) \
&-\frac{1}{2}\left(s^{2 H}+u^{2 H}-(s-u)^{2 H}\right) \
&+\frac{1}{2}\left(s^{2 H}+r^{2 H}-(s-r)^{2 H}\right) \
&=\frac{1}{2}\left(-(t-u)^{2 H}+(t-r)^{2 H}+(s-u)^{2 H}-(s-r)^{2 H}\right)
\end{aligned}
$$
请注意，如果该数量为正H>12, 否则为负。也就是说，fBm 具有负相关的增量，如果H<12 吨H和n吨H和F乙米一世sC这在n吨和rp和rs一世s吨和n吨, 和正相关的增量如果H>12 吨H和n吨H和$F乙米$一世sp和rs一世s吨和n吨. 在实践中，这意味着如果最后一个增量为负p这s一世吨一世在和, 下一个是正面的可能性更大n和G一种吨一世在和如果H<12和消极的p这s一世吨一世在和如果H>12.
金融代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|LONG AND SHORT MEMORY
表示Xn=乙nH−乙n−1H并定义
ρH(n):=这(X1H,Xn+1H)=更正(X1H,Xn+1H).
那么，我们有
ρH(n)=和(乙1H(乙n+1H−乙nH)) =12(12H+(n+1)2H−n2H) −12(12H+n2H−(n−1)2H) =12((n+1)2H+(n−1)2H−2n2H)
我们可以观察到的行为ρH对于不同的值H在图 5.2 中。此外，我们可以看到
ρH(n)≈H(2H−1)n2H−2
如果H>12， 动力2H−2>−1，然后和∑n=1∞ρH(n)=∞. 然后，我们说 fBm 是长记忆。如果H<12，这个和是有限的，我们说F乙米是短暂的记忆。
金融代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|STATIONARY INCREMENTS AND SELF-SIMILARITY
拿吨>s≥0. 那么对于每一个τ∈R我们有和[(乙吨+τH−乙s+τH)2]= (吨−s)2H. 也就是说，这个方差不依赖于τ. 由于所有增量都是高斯且居中的，因此该结果意味着增量定律乙吨H−乙sH只取决于吨−s. 然后我们说增量是固定的。
另一方面，直接计算告诉我们，对于所有一种>0, 随机过程的分布\left{B_{a t}^{H}, t \geq 0\right}\left{B_{a t}^{H}, t \geq 0\right}与分布相同\left{a^{H} B_{t}^{H}, t \geq 0\right}\left{a^{H} B_{t}^{H}, t \geq 0\right}. 然后我们说乙H在统计上是自相似的。
金融代写|金融数学代写FINANCIAL MATHEMATICS代考|STATIONARY INCREMENTS AND SELF-SIMILARITY
拿吨>s. 请注意，作为乙吨−乙s是一个中心高斯随机变量，方差等于(吨−s)2H, 如果遵循
和|乙吨−乙s|p=2p2Γ(p+12)圆周率(吨−s)pH.
然后，Kolmorogov 的连续性准则告诉我们存在 fBm 的连续修正，使得这种连续修正是λ-Hölder 连续为每个λ∈(0,pH−1p). 现在，让p→∞, 我们得到它是 Hölder 连续的λ<H. 为了简单起见，乙H在续集中，表示这种连续的修改。
上述计算表明，Hölder 连续性乙H取决于H并且对于较大的值，路径更平滑H. 如图5.3我们可以观察到对应于 Hurst 参数的不同值的 fBm 路径的几种模拟H.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
