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# 数学代写|矩阵方法代写Applied Matrix Theory代考|MATH551 Stationarity

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## 数学代写|矩阵方法代写Applied Matrix Theory代考|Stationarity

Given point probabilities $\pi_i, i \in E$, where $E$ is a discrete (finite or countable) set, we may consider the corresponding distribution on $E$ as the vector $\pi=(\pi){i \in E}$. More generally, a measure on $E$ may be represented as a vector $\boldsymbol{v}=\left(v_i\right){i \in E}$, where $v_i \geq 0$ (not necessarily summing to one).

Definition 1.2.23. A (row) vector $\boldsymbol{v}=\left(v_i\right){i \in E}$ is called a stationary measure of the Markov chain $\left{X_n\right}{n \in \mathbb{N}}$ with transition matrix $\boldsymbol{P}$, if (a) $v_i<\infty$ for all $i$, (b) $\boldsymbol{v} \geq \mathbf{0}$ (i.e., $v_i \geq 0$ for all $i \in E$ ), (c) $\boldsymbol{v} \neq \mathbf{0}$, and (d) $\boldsymbol{v} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{v}$.

Condition (d) implies that if $\boldsymbol{v}$ is a probability measure and $X_n \sim \boldsymbol{v}$, then $X_{n+1} \sim \boldsymbol{v}$ as well. This follows from

$$\mathbb{P}\left(X_{n+1}=i\right)=\sum_k \mathbb{P}\left(X_{n+1}=i \mid X_n=k\right) \mathbb{P}\left(X_n=k\right)=\sum_k v_k p_{k i}=v_i$$
when $X_n \sim \boldsymbol{v}$
Theorem 1.2.24. Let $\boldsymbol{v}$ be a stationary measure for an irreducible Markov chain. Then $v_i>0$ for all $i \in E$.

Proof. Let $i \in E$. Since $\boldsymbol{v} \neq \mathbf{0}$, there is a $j$ such that $v_j>0$. By irreducibility, there is an $m>0$ such that $p_{j i}^{(m)}>0$. Then from $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v} \boldsymbol{P}^m$, we get that
$$v_i=\sum_{k \in E} v_k p_{k i}^{(m)} \geq v_j p_{j i}^{(m)}>0 .$$

## 数学代写|矩阵方法代写Applied Matrix Theory代考|Markov Chains

We now introduce the concept of periodicity of a Markov chain $\left{X_n\right}_{n \in \mathbb{N}}$.
Definition 1.2.35. The period of a state $i$ is the largest integer $d(i)$ such that
$$\mathbb{P}i\left(T_i \in L{d(i)}\right)=1,$$
where $L_{d(i)}={d(i), 2 d(i), 3 d(i), 4 d(i), \ldots}$. If the period is one, the state is called aperiodic.

If $i \in E$ is periodic with period $d$, then the time of first return to $i$ (when starting in $i$ as well) is concentrated on the lattice ${d, 2 d, 3 d, \ldots}$. This means that the possible times for which the Markov chain starting in state $i$ can return to this same state is contained in ${d, 2 d, 3 d, \ldots}$, but may not be identical to this same set. The period is thus the greatest common divisor for the set $\left{n \in \mathbb{N}: p_{i i}^{(n)}>0\right}$.

Theorem 1.2.36. Periodicity is a class property: if $i$ and $j$ are in the same recurrence class, then they have the same period.

Proof. Let $i$ be a recurrent state with period $d(i)$. Let $j$ be another state in the same recurrence class. Then $i \leftrightarrow j$, and consequently there exist $m, n>0$ such that $p_{i j}^{(n)}>0$ and $p_{j i}^{(m)}>0$. Thus
$$p_{i i}^{(n+m)}=\sum_{k \in E} p_{i k}^{(n)} p_{k i}^{(m)} \geq p_{i j}^{(n)} p_{j i}^{(m)}>0$$
so $n+m \in L_{d(i)}$. Now take $k: p_{j j}^{(k)}>0$. Then
$$p_{i i}^{(m+n+k)} \geq p_{i j}^{(n)} p_{j j}^{(k)} p_{j i}^{(m)}>0,$$
so we also have that $n+m+k \in L_{d(i)}$. Hence $k \in L_{d(i)}$ and $d(j) \geq d(i)$. By symmetry, we obtain that $d(j) \leq d(i)$

## 数学代写|矩阵方法代写APPLIED MATRIX THEORY代 考|STATIONARITY

v_i=\sum_{k \in E} v_k p_{k i}^{(m)} \geq v_j p_{j k}^{(m)}>0 .
$$## 数学代写|矩阵方法代写APPLIED MATRIX THEORY代 考|MARKOV CHAINS 我们现在介绍马尔可夫链的周期性概念 \left } { X _ { – } n \backslash \text { right } } \text { _ } { \text { \in \mathbb } { N } } \text { . } 定义 1.2.35。一个国家的时期 i 是最大的整数 d(i) 这样$$
\mathbb{P} i\left(T_i \in L d(i)\right)=1
$$在哪里 L_{d(i)}=d(i), 2 d(i), 3 d(i), 4 d(i), \ldots 如果周期为 1 ，则该状态称为非周期状态。 如果 i \in E 是周期性的 d ，则第一次返回的时间 i whenstartingin\i\aswell集中在格子上 d, 2 d, 3 d, \ldots 这意味着马尔可夫链在状态开始的可能时间 i 可以返回到䢒 定理 1.2.36。周期性是一个类属性：如果 i 和 j 属于同一个晛现类，则它们具有相同的周期。 证明。让 i 是一个周期性的状态 d(i). 让 j 是同一递归类中的另一个状态。然后 i \leftrightarrow j, 因此存在 m, n>0 䢒样 p_{i j}^{(n)}>0 和 p_{j i}^{(m)}>0. 因此$$
p_{i i}^{(n+m)}=\sum_{k \in E} p_{i k}^{(n)} p_{k i}^{(m)} \geq p_{i j}^{(n)} p_{j i}^{(m)}>0
$$所以 n+m \in L_{d(i)}. 现在拿 k: p_{j j}^{(k)}>0. 然后$$
p_{i i}^{(m+n+k)} \geq p_{i j}^{(n)} p_{j j}^{(k)} p_{j i}^{(m)}>0


## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。