数学代写|数论代写Number Theory代考|Math204A Historical Background

如果你也在 怎样代写数论Number theory Math204A个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Math204A Historical Background

数学代写|数论代写Number Theory代考|Historical Background

The origin of Algebraic Number theory is attributed to Fermat’s Last Theorem which was conjectured by a French mathematician Pierre de Fermat in 1637. It states that the equation $X^n+Y^n=Z^n$ has no solution in non-zero integers $x, y, z$, when $n$ is an integer greater than 2 . Fermat himself proved the case $n=4$ of the theorem (see [Ded2, 0.3.1]). If $n=p m$, then the relation $x^n+y^n=z^n$ implies that $\left(x^m\right)^p+$ $\left(y^m\right)^p=\left(z^m\right)^p$ which gives a solution of the equation $X^p+Y^p=Z^p$. Since any integer greater than 2 is either a multiple of 4 or has an odd prime factor, for proving Fermat’s Last Theorem it is enough to show that $X^p+Y^p=Z^p$ has no solution in non-zero integers for all odd prime exponents $p$. This celebrated theorem motivated a general study of the theory of algebraic numbers. History reveals that in 1770 , Leonhard Euler used the field $\mathbb{Q}(\omega)$ with $\omega$ a complex cube root of unity to prove Fermat’s Last Theorem for the case $n=3$ (cf. [Ded2, 0.5.1]). The first major step towards a general proof of Fermat’s Last Theorem was by a French woman ${ }^1$ Sophie Germain. In a letter dated May 12,1819 to the greatest number theorist of that time Carl Friedrich Gauss, she explained her idea of the proof. She had proved that if $p$ is an odd prime such that $q=2 k p+1$ is also a prime for some number $k$ satisfying the following conditions: (i) $x^p \equiv p(\bmod q)$ has no solution (ii) the set of $p$ th powers modulo $q$ contains no consecutive non-zero integers, then the first case of Fermat’s Last Theorem holds for the exponent $p$, i.e., the equation $X^p+Y^p=Z^p$ has no solution in integers $x, y, z$ with $p$ not dividing $x y z$. In particular, for an odd prime $p$ if $2 p+1$ is also a prime, then the first case of Fermat’s Last Theorem holds for the exponent $p$. In this way she was able to show that the same holds for all odd primes $p \leq 197$. In 1825 , her method claimed its first complete success when the famous mathematicians Peter Gustav Lejeune Dirichlet and Adrien-Marie Legendre (one German and the other French) working independently were able to prove the case $n=5$ of Fermat’s Last Theorem. In fact, they acknowledged that their proofs were based on the method of Sophie Germain. Fourteen years later, the French mathematician Gabriel Lamé proved the case $n=7$ of the theorem using Germain’s results. Her results related to Fermat’s Last Theorem remained most important until the contribution of Eduard Kummer in $1847 .$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Algebraic Numbers and Algebraic Integers

We begin by introducing some basic notions of algebraic number theory.
Definition A complex number $\alpha$ is said to be an algebraic number if $\alpha$ is a root of a non-zero polynomial with coefficients from the field $\mathbb{Q}$ of rational numbers. A complex number which is not an algebraic number is called a transcendental number.
Note that if $\alpha$ is an algebraic number, then the degree of the extension $\mathbb{Q}(\alpha)$ over $\mathbb{Q}$ is finite and vice versa.

Theorem 1.1 The set of all algebraic numbers is a subfield of $\mathbb{C}$, the field of complex numbers.

Proof Suppose that $\alpha, \beta$ are algebraic numbers with $\beta \neq 0$. We have to show that $\alpha \pm \beta, \alpha \beta$ and $\frac{\alpha}{\beta}$ are algebraic numbers. The extensions $\mathbb{Q}(\alpha) / \mathbb{Q}$ and $\mathbb{Q}(\beta) / \mathbb{Q}$ are finite, say of degree $m$ and $n$ respectively. Since
$$
[\mathbb{Q}(\alpha, \beta): \mathbb{Q}(\alpha)] \leq[\mathbb{Q}(\beta): \mathbb{Q}]=n,
$$
it follows from Tower theorem (cf. Theorem A.1) that
$$
[\mathbb{Q}(\alpha, \beta): \mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha, \beta): \mathbb{Q}(\alpha)][\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}] \leq m n .
$$
As the elements $\alpha \pm \beta, \alpha \beta$ and $\frac{\alpha}{\beta}$ belong to $\mathbb{Q}(\alpha, \beta)$, therefore the degree of the extension obtained by adjoining any of these elements to $\mathbb{Q}$ is finite and hence the theorem is proved.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Math204A Historical Background

数论代写

数学代写|数论代写数论代考|历史背景


代数数论的起源被认为是由法国数学家皮埃尔·德·费马在1637年提出的费马大定理。它表明,当$n$是一个大于2的整数时,方程$X^n+Y^n=Z^n$在非零整数$x, y, z$中没有解。费马自己证明了$n=4$定理的情况(见[Ded2, 0.3.1])。如果$n=p m$,那么关系$x^n+y^n=z^n$意味着$\left(x^m\right)^p+$$\left(y^m\right)^p=\left(z^m\right)^p$,它给出了方程$X^p+Y^p=Z^p$的一个解。因为任何大于2的整数要么是4的倍数,要么有一个奇素数因子,为了证明费马大定理,它足以证明,对于所有奇素数指数$p$, $X^p+Y^p=Z^p$在非零整数中没有解。这个著名的定理激发了对代数数理论的广泛研究。历史表明,1770年,莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)使用场$\mathbb{Q}(\omega)$和$\omega$一个单位的复立方根来证明费马大定理$n=3$ (cf. [Ded2, 0.5.1])。对费马大定理进行一般性证明的第一步是由一位法国妇女${ }^1$索菲·日尔曼迈出的。在1819年5月12日写给当时最伟大的数论家卡尔·弗里德里希·高斯的信中,她解释了她的证明想法。她证明了如果$p$是一个奇素数,那么$q=2 k p+1$也是某个数$k$的素数,满足以下条件:(i) $x^p \equiv p(\bmod q)$没有解(ii) $p$的次幂模$q$的集合不包含连续的非零整数,那么费马大定理的第一种情况对指数$p$成立,即方程$X^p+Y^p=Z^p$在整数$x, y, z$中没有解,$p$不能除$x y z$。特别地,对于奇数素数$p$,如果$2 p+1$也是素数,那么费马大定理的第一种情况对指数$p$成立。通过这种方式,她能够证明这同样适用于所有奇质数$p \leq 197$。1825年,当著名数学家彼得·古斯塔夫·列琼·狄利克雷和阿德里安-玛丽·勒让德(一个德国人,一个法国人)独立工作,能够证明费马大定理$n=5$的情况时,她的方法获得了第一次完全的成功。事实上,他们承认他们的证明是基于索菲·日尔曼的方法。14年后,法国数学家加布里埃尔Lamé用日耳曼的结果证明了该定理的情况$n=7$。她的有关费马大定理的结果一直是最重要的,直到Eduard Kummer在$1847 .$ 的贡献

数学代写|数论代写数论代考|代数数和代数整数


我们首先介绍代数数论的一些基本概念。如果$\alpha$是系数来自有理数$\mathbb{Q}$域的非零多项式的根,则称复数$\alpha$为代数数。不是代数数的复数称为超越数。
请注意,如果$\alpha$是一个代数数,那么$\mathbb{Q}(\alpha)$除以$\mathbb{Q}$的扩展度是有限的,反之亦然

定理1.1所有代数数的集合是复数域$\mathbb{C}$的子域

证明设$\alpha, \beta$是$\beta \neq 0$的代数数。我们必须证明$\alpha \pm \beta, \alpha \beta$和$\frac{\alpha}{\beta}$是代数数。扩展$\mathbb{Q}(\alpha) / \mathbb{Q}$和$\mathbb{Q}(\beta) / \mathbb{Q}$是有限的,分别表示程度$m$和$n$。既然
$$
[\mathbb{Q}(\alpha, \beta): \mathbb{Q}(\alpha)] \leq[\mathbb{Q}(\beta): \mathbb{Q}]=n,
$$
,那么根据塔定理(cf.定理A.1),
$$
[\mathbb{Q}(\alpha, \beta): \mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha, \beta): \mathbb{Q}(\alpha)][\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}] \leq m n .
$$
由于元素$\alpha \pm \beta, \alpha \beta$和$\frac{\alpha}{\beta}$属于$\mathbb{Q}(\alpha, \beta)$,因此通过将这些元素中的任何一个与$\mathbb{Q}$相邻而得到的扩展程度是有限的,因此定理得到了证明

数学代写|数论代写Number Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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