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物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|PGPH11099 Tensor decomposition. Irreducible tensors

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粒子物理Particle Physics夸克不能单独存在,而是形成强子。含有奇数夸克的强子被称为重子,含有偶数夸克的强子被称为介子。两个重子,质子和中子,构成了普通物质的大部分质量。介子是不稳定的,寿命最长的介子只持续了几百分之一微秒的时间。它们发生在由夸克组成的粒子之间的碰撞之后,例如宇宙射线中快速移动的质子和中子。介子也会在回旋加速器或其他粒子加速器中产生。

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物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|PGPH11099 Tensor decomposition. Irreducible tensors

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|Tensor decomposition. Irreducible tensors.

Tensor decomposition. Irreducible tensors. Consider a two-index tensor $T_{i j}$. It has nine components. It can be decomposed into a symmetric and traceless part $S$, an antisymmetric part $A$ and the trace $T_{k k}$, with five, three and one independent components, respectively, as follows
$$
\begin{aligned}
T_{i j} &=\frac{1}{2}\left(T_{i j}+T_{j i}\right)-\frac{1}{3} \delta_{i j} T_{k k}+\frac{1}{2}\left(T_{i j}-T_{j i}\right)+\frac{1}{3} \delta_{i j} T_{k k} \
& \equiv S_{i j}+A_{i j}+\frac{1}{3} \delta_{i j} T_{k k}
\end{aligned}
$$
The new objects $S, A$ and $T_{k k}$ have the following properties: (a) The trace $T_{k k}$ of $T$ is a scalar under $O$ (3). Indeed, $T_{k k}^{\prime}=R_{k l} R_{k m} T_{l m}=\left(R^T R\right){l m} T{l m}=\delta_{l m} T_{l m}=T_{m m}$.
(b) The $A_{i j}$ transform linearly among themselves under $O(3)$ and form a two-index antisymmetric tensor, which is equivalent to a pseudo-vector.

Indeed, defining $\mathcal{A}i \equiv \epsilon{i j k} A_{j k}$, and making use of the properties of the $\epsilon$-symbol, we verify that $\mathcal{A}i^{\prime}=(\operatorname{det} R) R{i k} \mathcal{A}k$. (c) The five independent quantities $S{i j} \equiv(1 / 2)\left(T_{i j}+T_{j i}\right)-(1 / 3) \delta_{i j} T_{k k}$, form a symmetric traceless two-index tensor. ${ }^{13}$

Thus, under the action of the rotation group the five components of $S$, the three components of $A$ and the one component $T_{k k}$ transform independently. We say that the generic two-index tensor decomposes into a sum of three irreducible tensors of ranks 2,1 and 0 respectively. We write
$$
\mathbf{3} \otimes \mathbf{3} \cong \mathbf{5} \oplus \mathbf{3} \oplus \mathbf{1}
$$
and, as will become clear soon, this is an example of the general reduction formula (5.58).

The same procedure applies to the decomposition of higher tensor quantities. The operations of symmetrisation, anti symmetrisation and tracing give seven-, nine-, etc. dimensional irreducible representations of the rotation group.

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The Lie algebra of SO(3)

The Lie algebra of $\mathbf{S O}(3)$. The group elements of $S O(3)$ depend on three independent variables, the three rotation angles and therefore the Lie algebra $\mathfrak{c o}_{(3)}$ has three generators. On the other hand we know from the Cartan classification that there exists only one independent three-dimensional Lie algebra, the one we studied in association with the group $S U(2)$. It follows that we have an isomorphism $\mathfrak{f u}(\mathbf{2}) \cong \mathfrak{f}(\mathbf{0})$. In Problem 5.3, we ask the reader to verify this by explicit calculation. This is another example of the statement that two different groups may have identical Lie algebras.
We have studied the representations of this algebra and have found that they are labelled by an index $j$ which can take integer, or half-integer, values. Which of these representations will give, by exponentiation, representations of $S O(3)$ ? The group $S O(3)$ is characterised by the fact that a rotation by $2 \pi$ is identical to no rotation. This property should be preserved by all its representations. This means that the rotation matrix in any representation should satisfy $\exp {2 \mathrm{i} \pi \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{J}}=\mathbf{1}$. Applied to rotations around the $z$-axis, it implies that $J_3$ should have integer eigenvalues. Thus,of all representations of the algebra, only the ones corresponding to integer $j$ yield by exponentiation representations of $S O(3)$. In order to obtain this result we have to use the global property of $S O(3)$ and identify a rotation of $2 \pi$ with the identity.

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|PGPH11099 Tensor decomposition. Irreducible tensors

粒子物理代写

物理代写|粒子物理代写粒子物理学代考|张量分解。不可约张量

张量分解。不可约张量。考虑一个双指标张量$T_{i j}$。它有九个组成部分。它可以分解为对称无迹部分$S$、反对称部分$A$和迹$T_{k k}$,分别有5个、3个和1个独立成分,如下:
$$
\begin{aligned}
T_{i j} &=\frac{1}{2}\left(T_{i j}+T_{j i}\right)-\frac{1}{3} \delta_{i j} T_{k k}+\frac{1}{2}\left(T_{i j}-T_{j i}\right)+\frac{1}{3} \delta_{i j} T_{k k} \
& \equiv S_{i j}+A_{i j}+\frac{1}{3} \delta_{i j} T_{k k}
\end{aligned}
$$
新对象$S, A$和$T_{k k}$具有以下属性:(a) $T$的迹$T_{k k}$是$O$(3)下的标量。确实,$T_{k k}^{\prime}=R_{k l} R_{k m} T_{l m}=\left(R^T R\right){l m} T{l m}=\delta_{l m} T_{l m}=T_{m m}$ .
(b) $A_{i j}$在$O(3)$下彼此之间线性变换,形成一个双指标的反对称张量,它等价于一个伪向量 确实,通过定义$\mathcal{A}i \equiv \epsilon{i j k} A_{j k}$并利用$\epsilon$ -符号的属性,我们验证了$\mathcal{A}i^{\prime}=(\operatorname{det} R) R{i k} \mathcal{A}k$。(c)五个独立的量$S{i j} \equiv(1 / 2)\left(T_{i j}+T_{j i}\right)-(1 / 3) \delta_{i j} T_{k k}$,形成对称无迹双指标张量。${ }^{13}$

这样,在旋转群的作用下,$S$的五个组分、$A$的三个组分和$T_{k k}$的一个组分独立变换。我们说一般的双指标张量分解为三个不可约张量的和,分别为2、1和0级。我们写
$$
\mathbf{3} \otimes \mathbf{3} \cong \mathbf{5} \oplus \mathbf{3} \oplus \mathbf{1}
$$
,很快就会清楚,这是一般约简公式(5.58)的一个例子


同样的过程也适用于更高张量的分解。对称、反对称和溯迹操作给出了旋转群的七维、九维等不可约表示

物理代写|粒子物理代写粒子物理学代考| SO(3)的李代数

$\mathbf{S O}(3)$的李代数。$S O(3)$的群元素依赖于三个自变量,三个旋转角度,因此李代数$\mathfrak{c o}_{(3)}$有三个生成器。另一方面,我们从Cartan分类中知道,只有一个独立的三维李代数,就是我们和$S U(2)$群一起研究的那个。由此可见,我们有一个同构$\mathfrak{f u}(\mathbf{2}) \cong \mathfrak{f}(\mathbf{0})$。在问题5.3中,我们要求读者通过显式计算来验证这一点。这是另一个例子说明两个不同的群可能有相同的李代数。我们研究了这个代数的表示,并发现它们由一个索引$j$标记,该索引可以接受整数或半整数值。通过求幂,哪一种表示法可以表示$S O(3)$ ?组$S O(3)$的特点是$2 \pi$的旋转等同于不旋转。这一财产应由其所有代表加以保全。这意味着任何表示形式中的旋转矩阵都应该满足$\exp {2 \mathrm{i} \pi \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{J}}=\mathbf{1}$。应用于围绕$z$轴的旋转,它意味着$J_3$应该具有整型特征值。因此,在代数的所有表示中,只有整数$j$对应的表示通过$S O(3)$的幂表示产生。为了得到这个结果,我们必须使用$S O(3)$的全局属性,并用标识符标识$2 \pi$的旋转

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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