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组合数学 Combinatorial Mathematics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。
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数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Connections of spherical designs with group theory, number theory, modular forms
Let us consider what kinds of spherical $t$-designs there are. The most natural way of the construction is to consider orbits of a finite group $G$ in the orthogonal group $\mathrm{O}(n)$. Namely, for $x \in S^{n-1}$ we consider the orbit $x^G$ of $x$ by $G$ as follows:
$$
X=x^G=\left{x^g \mid g \in G\right} \subset S^{n-1} .
$$
There are many possibilities for $G$. We expect that if we take larger finite subgroups $G$ in $O(n)$, then we may get better designs. This topic was already treated in [32, Chapter 6] in a detailed way, so here we just mention the points that we think important, leaving the details to the book [32]. The most important finite groups are: real reflection groups (including Weyl groups and more generally Coxeter groups), the Conway group Co.0 in the 24-dimensional space and their various subgroups, and Clifford groups. The research in this direction was started by Sobolev in the 1960s (cf. [412]). See also Sidelnikov [428, 429]. There are some works on properties of finite groups such that orbits become $t$-designs (for details, see [32]). Here we just mention some important facts that we believe interesting.
For each $n \geq 3$, among spherical $t$-designs that are obtained as an orbit of a finite group $G$ of $\mathrm{O}(n)$, those with large $t$ are not yet found. We remark the following.
数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Spherical t-designs that are obtained as shells of a lattice
In addition to the spherical $t$-designs which are obtained as orbits of a finite subgroup $G$ in $\mathrm{O}(n)$, there is another natural method for the construction of the spherical $t$-designs obtained as shells of a lattice.
Let us fix some notation. A subset $L$ of $\mathbb{R}^n$ is called a lattice if there exists a basis $\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}$ of the real vector space $\mathbb{R}^n$ and $L$ is the set of linear combinations of $\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}$ with integral coefficients. We call $\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}$ a generator of $L$. A lattice $L$ is a free Abelian group of rank $n$. For the important examples of lattices, the reader is referred to basic references on lattices, Conway and Sloane [147] or Ebeling [175]. (In what follows, $\left{e_1, e_2, \ldots, e_n\right}$ is the standard orthonormal basis of $L$.)
- Let $\mathbb{Z}^n$ be the set of all integer points: $\left{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \mid x_i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq n\right}$.
- The $A_n$-lattice is $\left{\left(a_1, a_2, \ldots, a_{n+1}\right) \mid a_i \in \mathbb{Z}, a_1+\cdots+a_n+a_{n+1}=2\right}$.
(Note that for the hyperplane $H$, we have $H=\left{\left(a_1, \ldots, a_n, a_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid a_1+\cdots+\right.$ $\left.a_n+a_{n+1}=2\right} \cong \mathbb{R}^n$.) In particular, the $A_2$-lattice is called the hexagonal lattice, as shown below.
组合数学代写
数学代写|组合数学代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代 考|CONNECTIONS OF SPHERICAL DESIGNS WITH GROUP THEORY, NUMBER THEORY, MODULAR FORMS
让我们考虑一下什么样的球体 $t$-设计有。最目然的构造方法是考虞有限群的轨道 $G$ 在正交组中 $\mathrm{O}(n)$. 即，对于 $x \in S^{n-1}$ 我们考虑轨道 $x^G$ 的 $x$ 经过 $G$ 如下:
$X=x^{\wedge} G=|l e f t| x^{\wedge} g \backslash$ |mid $g \backslash$ in $\left.G \mid r i g h t\right} \backslash$ subset $S^{\wedge}{n-1}$ 。
有很多可能性 $G$. 我们期望如果我们采用更大的有限子群 $G$ 在 $O(n)$ ，那么我们可能会得到更好的设计。这个话题已经在
32, Chapter6
详细的，所以这里我们只提我们认为重要的点，把细节留给书
最重要的有限群是：实反射群includingWeylgroupsandmoregenerallyCoxetergroups, 24 维空间中的 Conway 群 Co.0 及其各种子群，以及 Clifford 群。这个 方向的研究是由索博列夫在 1960 年代开始的 $c f$. [412]. 另见西德尔尼科夫
有一些关于有限群性质的工作，使得轨道变为 $t$-设计 fordetails, see[32]. 在这里，我们只提到一些我们认为有趣的重要事实。
对于每个 $n \geq 3$, 在球形 $t$-作为有限群的轨道获得的设计 $G$ 的 $\mathrm{O}(n)$, 那些大 $t$ 还没有找到。我们评论如下。
数学代写|组合数学代写COMBINATORIAL MATHEMATICS代 考|SPHERICAL T-DESIGNS THAT ARE OBTAINED AS SHELLS OF A LATTICE
除了球形 $t-1$ 作为有限子群的轨道获得的设计 $G$ 在 $\mathrm{O}(n)$ ，还有另一种自然的构造球面的方法 $t-$ 作为格子壳获得的设计。
Conway 和 Sloane
147
175
特别是， $A_2$-lattice 称为六角点阵，如下图。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
