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By the end of this topic you should be able to:
(i) Use the tests of divisibility as a problem solving tool.
(ii) Use the congruence notation and do congruence arithmetic.
(iii) Use Fermat’s Little Theorem and Wilson’s theorem.
(iv) Use the Unique Factorization Theorem (also known as the Fundamental Theorem of Arithmetic).
(v) Use the Chinese Remainder Theorem.
As appetizers, here are two typical problems of the kind you should be able to solve when you have worked through Sections $1-4$, and might find even easier after Section 5 . You are invited to try them as soon as you wish. The solution of each is given at the end of Section 4, and a streamlined approach to Appetizer Problem 1 is given at the end of Section 5.

Appetizer Problem 1: Find the remainder when $2^{4901}$ is divided by 11.
(A) 1 (B) 3
(C) 6
(D) 10
(E) 2
Appetizer Problem 2: What are the last two digits in the number $11^{111}$ ?
(A) 01
(B) 11
(C) 21
(D) 31
(E) 41

滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Divisibility, primes and factorization

We collect here some simple facts about divisibility that will be used frequently. In talking about divisibility of numbers, they are always understood to be integers. The idea of divisibility and the notation is introduced at the beginning of Toolchest 3 .

We say that $b$ divides $a$, and we write $b \mid a$, if there is an integer $c$ such that $a=b c$. Thus, $4 \mid 36$ because $36=4 \cdot 9$; and $(-3) \mid(18)$ because $18=$ $(-3) \cdot(-6)$. Any number $b$ divides 0 because $0=b \cdot 0$. Note carefully that ‘ $b \mid a$ ‘ is a statement about $a$ and $b$, while $c=a / b=a \cdot b^{-1}$ is a number, called the quotient of $a$ by $b$. Note also that ‘ $b$ divides $a^{\prime}$ ‘ is equivalently expressed as ‘ $b$ is a factor of $a$ ‘, and as ‘ $a$ is a multiple of $b$ ‘.
A prime number is a natural number greater than 1 which is divisible only by 1 and itself. The first few primes are ${2,3,5,7,11,13,17, \ldots}$. Eratosthenes showed how to find many primes by using his sieve. Arrange the first 1000 (or so) numbers in an orderly table, then ring the number 2 and cross off every even number; ring the next uncrossed number 3, and cross off every third number after that; ring the next uncrossed number 5 , and cross off all remaining multiples of 5 ; etc. (If your table is constructed systematically you will notice that there is a geometrical pattern in the multiples at each stage. Indeed, if you colour all multiples at any stage by using a distinctive colour, you will have created an attractive design – a visualizathe crossing off process for your table, you will be left with only the ringed prime numbers.
Finding patterns in the distribution of primes, or generating formulas for primes, has challenged people for many centuries. The ‘frequency’ of the primes falls off as we go further: to find 100 non-primes in a row, look at $101 !+2,101 !+3, \ldots, 101 !+101$. (Recall that $101 !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots \ldots$ $100 \cdot 101$.) But there is always a greater prime to find, as proved by Euclid. His clever and elegant idea is to take any collection of $n$ distinct primes, multiply them together and add 1 : the new number $N=\left(p_1 p_2 p_3 \cdots p_n\right)+1$ is divisible by some new prime. The ‘why’ in that proof really depends on unique factorization:

Every natural number $N>1$ can be factored uniquely (we shall state the theorem precisely later) into a product of prime numbers, and is therefore divisible by each of these primes, and by any product of a subset of them.

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$i$ 使用可分性测试作为解决问题的工具。
$i i$ 使用同余符号并进行同余算术。
$i i i$ 使用费马小定理和威尔逊定理。
iv使用唯一分解定理alsoknownastheFundamentalTheoremof Arithmetic.
$v$ 使用中国剩余定理。
作为开甶菜,这里有两个典型的问题,当你完成部分工作后,你应该能够解决这些问题 $1-4$ ,并且在第 5 节之后可能会发现更容易。诚邀您尽快尝试。第 4 节末 尾给出了每个问题的解决方案,第 5 节末尾给出了开胃菜问题 1 的简化方法。
开甶菜问题1:找到余数 $2^{4901}$ 除以 11 。
$A \perp B 3$
D 10
$E 2$ 开甶菜问题2: 数字的最后两位是什么 $11^{111} ?$
$B 11$
$C 21$


我们在这里收集一些关于可分性的简单事实,这些事实将经常使用。在谈论数字的可分性时,它们总是被理解为整数。可分性和符昊的概念在 Toolchest 3 的开头介 绍。
我们说 $b$ 划分 $a$ ,我们写 $b \mid a$, 如果有整数 $c$ 这样 $a=b c$. 因此, $4 \mid 36$ 因为 $36=4 \cdot 9 ;$ 和 $(-3) \mid(18)$ 因为 $18=(-3) \cdot(-6)$. 任何数字 $b$ 除 0 因为 $0=b \cdot 0$. 仔细注意’ $b \mid a^{\prime}$ 是关于 $a$ 和 $b$ ,㞔管 $c=a / b=a \cdot b^{-1}$ 是一个数,称为商 $a$ 经过 $b$. 还要注意’ $b$ 划分 $a^{\prime}$ ‘ 等价地表示为 ‘ $b$ 是一个因塐 $a$ ‘,并作为 ‘ $a$ 是的倍数 $b$ ‘。
彗数是一个大于 1 的自然数,只能被 1 和它自己整除。前几个筰数是 $2,3,5,7,11,13,17, \ldots$ 埃拉托色尼展示了如何使用他的笄子找到许多筰数。排列前 1000 个 or so有序表中的数字,然后按数字 2 并划掉每个偶数;敲响下一个末划线的数字 3 ,然后划掉每三个数字;敲响下一个末划线的数字 5 ,并划掉所有剩余的 5 倍 数;等等
Ifyourtableisconstructedsystematicallyyouwillnoticethatthereisageometricalpatterninthemultiplesateachstage. Indeed, ifyoucolourallmultiples 但正如欧几里得所证明的,总有一个更大的挈数可以找到。他聪明而优雅的想法是采取任何收藏 $n$ 不同的綁数,将它们相乘并加 1 : 新数 $N=\left(p_1 p_2 p_3 \cdots p_n\right)+1$ 能被某个新青数整除。该证明中的“为什么””实际上取决于独特的分解:
每个自然数 $N>1$ 可以唯一分解weshallstatethetheorempreciselylater成牶数的乘积,因此可以被这些牶数中的每一个以及它们的子集的任何乘积整除。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。


微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。





MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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