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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finite Fields
A finite field is what it says: a field whose cardinality is finite.
Proposition (4.5.1). – The characteristic of a finite field is a prime number $p$; its cardinality is a power of $p$.
Proof. – Let $\mathrm{F}$ be a finite field. Since $\mathbf{Z}$ is infinite, the canonical morphism from $\mathbf{Z}$ to $\mathbf{F}$ is not injective. Its kernel is a non-zero prime ideal of $\mathbf{Z}$, hence is generated by a prime number, say $p$, the characteristic of $\mathrm{F}$. This morphism induces a field extension $Z / p \mathbf{Z} \rightarrow \mathrm{F}$, so that $\mathrm{F}$ is a vector space over the finite field $\mathbf{Z} / p \mathbf{Z}$. Its dimension $d$ must be a finite integer, so that $\operatorname{Card}(\mathrm{F})=p^d$.
Conversely, let $q>1$ be a power of a prime number $p$. We are going to show that there exists a finite field of characteristic $p$ and cardinality $q$, and that any two such fields are isomorphic.
Theorem (4.5.2). – Let $p$ be a prime number, let $f$ be an integer such that $f \geq 1$ and let $q=p^f$. Let $\Omega$ be a field of characteristic $p$ in which the polynomial $\mathrm{X}^q-\mathrm{X}$ is split, for example, an algebraically closed field of characteristic $p$. There exists a unique subfield of $\Omega$ which has cardinality $q$ : it is the set $\mathrm{F}$ of all roots in $\Omega$ of the polynomial $\mathrm{X}^q-\mathrm{X}$. Moreover, any finite field of cardinality $q$ is isomorphic to $\mathrm{F}$.
Proof. — Let $\varphi: \Omega \rightarrow \Omega$ be the Frobenius homomorphism, defined by $x \mapsto$ $x^p$ (see example 1.1.14). Let $\varphi_q=\sigma^f$ be the $f$ th power of $\varphi$, so that $\varphi_q(x)=$ $x^{p f}=x^q$ for every $x \in \Omega$. The set $\mathrm{F}$ of all $x \in \Omega$ such that $x^q=\varphi_q(x)=x$ is then a subfield of $\Omega$, as claimed. The derivative of the polynomial $P=$ $\mathrm{X}^q-\mathrm{X}$ is $\mathrm{P}^{\prime}=q \mathrm{X}^{q-1}-1=-1$, since $\Omega$ has characteristic $p$ and $p$ divides $q$. Consequently (see §1.3.20), $\mathrm{P}$ has no multiple root and $\operatorname{Card}(\mathrm{F})=q$.
Let $\mathrm{K}$ be a finite field of cardinality $q$. The multiplicative group $\mathrm{K}^{\times}$of $\mathrm{K}$ has cardinality $q-1$, hence $x^{q-1}=1$ for every $x \in \mathrm{K}^{\times}$, by Lagrange’s theorem. This implies that $x^q=x$ for every $x \in \mathrm{K}^{\times}$, and also for $x=0$.
If $K$ is a subfield of $\Omega$, this shows that $K \subset F$, hence $K=F$ since these two fields have the same number of elements.
In the general case, we already know that $\mathrm{K}$ is an extension of $\mathbf{Z} / p \mathbf{Z}$ in which the polynomial $\mathrm{P}=\mathrm{X}^q-\mathrm{X}$ is split, and which is generated by the roots of P. Indeed, K consists only of roots of P! It follows from theorem 4.3.16 that there exists a morphism of fields $i: \mathrm{K} \rightarrow \Omega$. Then, $i(\mathrm{~K})$ is a finite field of characteristic $q$ contained in $\Omega$, hence $i(\mathrm{~K})=\mathrm{F}$ and $\mathrm{K} \simeq \mathrm{F}$.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Galois’s Theory of Algebraic Extensions
4.6.1. – Let $\mathrm{K} \rightarrow$ L be an extension of fields. Let $\operatorname{Aut}(\mathrm{L} / \mathrm{K})$ be the set of field automorphisms of L which are K-linear. In the particularly important case where $K$ is a subfield of $L$ and the morphism $K \rightarrow L$ is the inclusion, an automorphism $\sigma$ of $\mathrm{L}$ belongs to $\operatorname{Aut}(\mathrm{L} / \mathrm{K})$ if and only if its restriction to $\mathrm{K}$ is the identity.
Observe that $\operatorname{Aut}(\mathrm{L} / \mathrm{K})$ is a group with respect to composition.
Examples (4.6.2). – a) Let $c: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}$ be the complex conjugation. Then $\operatorname{Aut}(\mathbf{C} / \mathbf{R})={\mathrm{id}, c} \simeq \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z}$.
It is clear that id and $c$ are elements of $\operatorname{Aut}(\mathbf{C} / \mathbf{R})$. Conversely, let $\sigma$ be an automorphism of $\mathbf{C}$ such that $\sigma(x)=x$ for every $x \in \mathbf{R}$. Observe that $\sigma(i)^2=\sigma\left(i^2\right)=\sigma(-1)=-1$, hence $\sigma(i) \in{\pm i}$. If $z=x+i y \in \mathbf{C}$, with $x, y \in \mathbf{R}$, then $\sigma(z)=\sigma(x)+\sigma(i) \sigma(y)=x+\sigma(i) y$. Consequently, $\sigma=$ id if $\sigma(i)=i$ and $\sigma=c$ if $\sigma(i)=-i$.
$b$ ) Let $q$ be a power of a prime number and let $e$ be an integer $\geq 2$. Let $\mathrm{F}$ be a field of cardinality $q^e$ and let $\mathrm{E}$ be the subfield of $\mathrm{F}$ of cardinality $q$. Then $\operatorname{Aut}(\mathrm{F} / \mathrm{E})$ is a cyclic group of order $e$, generated by the automorphism $\sigma_q: x \mapsto x^q$.
Indeed, $\sigma_q$ belongs to $\operatorname{Aut}(\mathrm{F} / \mathrm{E})$. For $0 \leq i \leq e-1$, its power $\sigma_q^i$ is the morphism $x \mapsto x^{q^i}$. If $0<i<e$, the polynomial $X^{q^i}-\mathrm{X}$ has at most $q^i$ roots in F, so that $\sigma_q^i \neq$ id. This implies that the elements id, $\sigma_q, \ldots, \sigma_q^{e-1}$ of $\operatorname{Aut}(\mathrm{F} / \mathrm{E})$ are distinct. By the following lemma, they fill up all of $\operatorname{Aut}(\mathrm{F} / \mathrm{E})$.
c) Let $\mathrm{E}$ be the subfield of $\mathrm{C}$ generated by $\sqrt[3]{2}$. Then $\operatorname{Aut}(\mathrm{E} / \mathrm{Q})={\mathrm{id}}$.
Let $\alpha=\sqrt[3]{2}$, so that $\mathrm{E}=\mathbf{Q}[\alpha]$; in particular, $\mathrm{E}$ is a subfield of $\mathbf{R}$. Any automorphism $\sigma$ of $\mathrm{E}$ is determined by $\sigma(\alpha)$. Moreover, $\sigma(\alpha)^3=\sigma\left(\alpha^3\right)=$ $\sigma(2)=2$, so that $\sigma(\alpha)$ is a cube root of 2 contained in E. Observe that $\alpha$ is the only cube root of 2 which is a real number, hence the only cube root of 2 in $E$. Consequently, $\sigma(\alpha)=\alpha$ and $\sigma=$ id.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代考|FINITE FIELDS
有限域就是它所说的：基数是有限的域。
主张 4.5.1. – 有限域的特征是质数 $p$; 它的基数是 $p$.
证明。-让F是一个有限域。自从Z是无限的，规范态射来自ZZ至 $\mathbf{F}$ 不是单射的。它的核是一个非零䋤理想 $\mathbf{Z}$ ，因此是由质数生成的，比如说 $p$, 的特征F. 这种态射导 致域扩展 $Z / p \mathbf{Z} \rightarrow \mathrm{F}$ ，以便 $\mathrm{F}$ 是有限域上的向量空间 $\mathbf{Z} / p \mathbf{Z}$. 它的维度 $d$ 必须是有限整数，因此Card $(\mathrm{F})=p^d$. 相反，让 $q>1$ 是质数的帛 $p$. 我们要证明存在有限的特征域 $p$ 和基数 $q$ ，并且任何两个这样的场是同构的。
定理 4.5.2. – 让 $p$ 是质数，让 $f$ 是一个整数，使得 $f \geq 1$ 然后让 $q=p^f$. 让 $\Omega$ 成为特色领域 $p$ 其中多项式 $\mathrm{X}^q-\mathrm{X}$ 是分裂的，例如，代数封闭的特征域 $p$. 存在一个独特的 子字段 $\Omega$ 有基数 $q$ : 这是集合 $\mathrm{F}$ 所有根源于 $\Omega$ 多项式的 $\mathrm{X}^q-\mathrm{X}$. 此外，任何有限基数域 $q$ 同构于 $\mathrm{F}$. $x \in \Omega$ 这样 $x^q=\varphi_q(x)=x$ 那么是的一个子字段 $\Omega$ ，正如所声称的那样。多项式的导数 $P=\mathrm{X}^q-\mathrm{X}$ 是 $\mathrm{P}^{\prime}=q \mathrm{X}^{q-1}-1=-1$ ，自从 $\Omega$ 有特点 $p$ 和 $p$ 分裂 $q$. 最后 see $\S 1.3 .20, \mathrm{P}$ 没有重根并且 $\operatorname{Card}(\mathrm{F})=q$.
让 $\mathrm{K}$ 是基数的有限域 $q$. 乘法群 $\mathrm{K}^{\times}$的 $\mathrm{K}$ 有基数 $q-1$ ，因此 $x^{q-1}=1$ 每一个 $x \in \mathrm{K}^{\times}$,根据拉格朗日定理。这意味着 $x^q=x$ 每一个 $x \in \mathrm{K}^{\times}$,也为 $x=0$.
如果 $K$ 是一个子字段 $\Omega$, 这表明 $K \subset F$ ，因此 $K=F$ 因为这两个字段具有相同数量的元表。
在一般情况下，我们已经知道K是的延伸 $\mathbf{Z} / p \mathbf{Z}$ 其中多项式 $\mathrm{P}=\mathrm{X}^q-\mathrm{X}$ 是分裂的，它是由 $\mathrm{P}$ 的根生成的。实际上， $K$ 仅由 $\mathrm{P}$ 的根组成! 从定理 4.3.16可以得出，存 在域的态射 $i: \mathrm{K} \rightarrow \Omega$. 然后， $i(\mathrm{~K})$ 是一个有限的特征域 $q$ 包含在 $\Omega$ ， 因此 $i(\mathrm{~K})=\mathrm{F}$ 和 $\mathrm{K} \simeq \mathrm{F}$.
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代 考|GALOIS’S THEORY OF ALGEBRAIC EXTENSIONS
4.6.1. – 让 $\mathrm{K} \rightarrow \mathrm{L}$ 是字段的扩展。让Aut $(\mathrm{L} / \mathrm{K})$ 是 $\mathrm{L}$ 的 $\mathrm{K}$ 线性场自同构的集合。在特别重要的情况下 $K$ 是一个子字段 $L$ 和态射 $K \rightarrow L$ 是包含，一个自同构 $\sigma$ 的 $\mathrm{L}$ 属于 $\operatorname{Aut}(\mathrm{L} / \mathrm{K})$ 当且仅当其限制为 $\mathrm{K}$ 是身份。 观㟯那个Aut $(\mathrm{L} / \mathrm{K})$ 是关于组合的群。
例子4.6.2. – a) 让 $c: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}$ 是复共轭。然后 $\operatorname{Aut}(\mathbf{C} / \mathbf{R})=\mathrm{id}, c \simeq \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z}$.
很明显，id和 $c$ 是元溸Aut $(\mathbf{C} / \mathbf{R})$. 相反，让 $\sigma$ 是的自同构 $\mathbf{C}$ 这样 $\sigma(x)=x$ 每一个 $x \in \mathbf{R}$. 观䕓那个 $\sigma(i)^2=\sigma\left(i^2\right)=\sigma(-1)=-1$ ，因此 $\sigma(i) \in \pm i$. 如果 $z=x+i y \in \mathbf{C}$ ，和 $x, y \in \mathbf{R}$ ，然后 $\sigma(z)=\sigma(x)+\sigma(i) \sigma(y)=x+\sigma(i) y$. 最后， $\sigma=$ 如果 $\sigma(i)=i$ 和 $\sigma=c$ 如果 $\sigma(i)=-i$.
b) 让 $q$ 是一个质数的帛并且让 $e$ 是一个整数 $\geq 2$. 让F 是一个基数领域 $q^e$ 然后让E是的子领域 $\mathrm{F}$ 基数 $q$. 然后 Aut $(\mathrm{F} / \mathrm{E})$ 是有序的循环群 $e$, 由自同构生成 $\sigma_q: x \mapsto x^q$.
的确， $\sigma_q$ 属于Aut(F/E). 为了 $0 \leq i \leq e-1$, 它的功率 $\sigma_q^i$ 是态射 $x \mapsto x^{q^i}$. 如果 $0<i<e$, 多项式 $X^{q^i}-\mathrm{X}$ 至多有 $q^i \mathrm{~F}$ 的根，因此 $\sigma_q^i \neq \mathrm{ID}$ 。这意味着元表 $\mathrm{id}$ ， $\sigma_q, \ldots, \sigma_q^{e-1}$ 的Aut(F/E)是不同的。通过以下引理，他们填补了所有Aut(F/E).
c) 让E是的子领域 $\mathrm{C}$ 产生于 $\sqrt[3]{2}$. 然后 Aut $(\mathrm{E} / \mathrm{Q})=\mathrm{id}$.
让 $\alpha=\sqrt[3]{2}$ ，以便 $\mathrm{E}=\mathbf{Q}[\alpha]$; 尤其是， $\mathrm{E}$ 是一个子字段 $\mathbf{R}$. 任何自同构 $\sigma$ 的E决定于 $\sigma(\alpha)$. 而且， $\sigma(\alpha)^3=\sigma\left(\alpha^3\right)=\sigma(2)=2$ ，以便 $\sigma(\alpha)$ 是 $\mathrm{E}$ 中包含的 2 的立方 根。请注意 $\alpha$ 是 2 的唯一立方根，它是实数，因此 2 的唯一立方根在 $E$. 最后， $\sigma(\alpha)=\alpha$ 和 $\sigma=1 \mathrm{D}$ 。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。