如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic Number Theory MA58400这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数数论Algebraic Number Theory是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。
代数数论Algebraic Number Theory费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。
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数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Preliminaries
In this section, we would like to search for solutions to equations of the form $x^2 \equiv a(\bmod p)$, where $p$ is prime. We will discover that quadratic reciprocity gives us a means to determine if any solution exists.
In order to appreciate the usefulness of quadratic reciprocity, let us consider how we would tackle the congruence
$$
x^2 \equiv-1 \quad(\bmod 5) .
$$
The naive method would be to take all the residue classes in $(\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z})$ and square them. We would get $0^2 \equiv 0,1^2 \equiv 1,2^2 \equiv 4,3^2 \equiv 4$, and $4^2 \equiv 1$. Since $4 \equiv-1(\bmod 5)$, we have found two solutions to the above equation, namely 2 and 3 . This brute force method works well for small primes but becomes impractical once the size of the numbers gets too large. Thus it would be nice to have a more accessible method to determine solutions. The following exercise shows us a way to determine if there exists a solution when $p$ is fixed. However, determining solutions to the congruence is still a difficult problem.
Exercise 7.1.1 Let $p$ be a prime and $a \neq 0$. Show that $x^2 \equiv a(\bmod p)$ has a solution if and only if $a^{(p-1) / 2} \equiv 1(\bmod p)$.
Notice that Exercise 7.1.1 merely provides us with a means of determining whether a solution exists and gives us no information on how to actually find a square root of $a(\bmod p)$.
Exercise 7.1.1 works very well for a fixed $p$. Suppose, however, we wish to fix $a$ and vary $p$. What happens in this case? This question motivates the remainder of our discussion on quadratic reciprocity.
Definition. The Legendre symbol $(a / p)$, with $p$ prime, is defined as follows:
$$
\left(\frac{a}{p}\right)=\left{\begin{aligned}
1 & \text { if } x^2 \equiv a(\bmod p) \text { has a solution, } \
-1 & \text { if } x^2 \equiv a(\bmod p) \text { has no solution, } \
0 & \text { if } p \mid a
\end{aligned}\right.
$$
If $(a / p)=1$, we say that $a$ is a quadratic residue $\bmod p$. If $(a / p)=-1, a$ is said to be a quadratic nonresidue $\bmod p$.
数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Gauss Sums
Definition. Let $p$ be a prime and let $\zeta_p$ be a primitive $p$ th root of unity. We define the Gauss Sum as follows:
$$
S=\sum_{a \bmod p}\left(\frac{a}{p}\right) \zeta_p^a,
$$
where $(a / p)$ is the Legendre symbol.
This sum has some interesting properties. We explore some of them below.
Theorem 7.2.1 For $S$ as defined above,
$$
S^2=\left(\frac{-1}{p}\right) p .
$$
Proof. From the definition of a Gauss sum, we have
$$
S^2=\left(\sum_{a \bmod p}\left(\frac{a}{p}\right) \zeta_p^a\right)\left(\sum_{b \bmod p}\left(\frac{b}{p}\right) \zeta_p^b\right)
$$
By applying Exercise 7.1.4, we can simplify the above to get
$$
S^2=\sum_{a, b}\left(\frac{a b}{p}\right) \zeta_p^{a+b}
$$
We now make a substitution by letting $b=c a$, where $(c, p)=1$. Thus,
$$
S^2=\sum_{(a, p)=1} \sum_{(c, p)=1}\left(\frac{a^2 c}{p}\right) \zeta_p^{a(1+c)}
$$
Again, using Exercise 7.1.4, we get
$$
\begin{aligned}
S^2 & =\sum_{(a, p)=1} \sum_{(c, p)=1}\left(\frac{c}{p}\right) \zeta_p^{a(1+c)} \
& =\sum_{(c, p)=1}\left(\frac{c}{p}\right)\left(\sum_{(a, p)=1} \zeta_p^{a(1+c)}\right) .
\end{aligned}
$$
代数数论代写
数学代写|代数数论代写ALGEBRAIC NUMBER THEORY代 考|PRELIMINARIES
在本节中，我们想搜索以下形式的方程的解 $x^2 \equiv a(\bmod p)$ ，在哪里 $p$ 是质数。我们会发现，二次互惠为我们提供了一种方法来确定是否存在任何解决方案。
为了理解二次互惠的有用性，让我们考虑一下我们将如何处理同余
$$
x^2 \equiv-1 \quad(\bmod 5) .
$$
天真的方法是将所有的剩余类都放在 $(\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z})$ 并将它们平方。我们会得到 $0^2 \equiv 0,1^2 \equiv 1,2^2 \equiv 4,3^2 \equiv 4$ ，和 $4^2 \equiv 1$. 自从 $4 \equiv-1(\bmod 5)$ ，我们找到了上述方程 的两个解，即 2 和 3 。这种变力方法适用于小䋤数，但一旦数字的大小变得太大就变得不切实际。因此，最好有一种更易于访问的方法来确定解决方案。下面的练 习向我们展示了一种确定是否存在解决方案的方法 $p$ 是固定的。然而，确定同余的解决方案仍然是一个难题。
练习 7.1.1 让 $p$ 成为嗉数并且 $a \neq 0$. 显示 $x^2 \equiv a(\bmod p)$ 有解当且仅当 $a^{(p-1) / 2} \equiv 1(\bmod p)$.
请注意，练习 7.1.1仅向我们提供了一种确定解是否存在的方法，并末提供有关如何实际求平方根的信息 $a(\bmod p)$.
习题 7.1.1 对于固定值非常有效 $p$. 然而，假设我们希望修复 $a$ 并有所不同 $p$. 在这种情况下会发生什么? 这个问题激发了我们对二次互惠的其余部分的讨论。
定义。勒让德符号 $(a / p)$ ，和 $p$ 质数，定义如下:
$\$ \$$
《left $\backslash$ frac{a}p}右 $=\mid$ 左 {
1 if $x^2 \equiv a(\bmod p)$ has a solution, $-1 \quad$ if $x^2 \equiv a(\bmod p)$ has no solution, 0 if $p \mid a$
正确的。
$\$ \$$
如果 $(a / p)=1$, 我们说 $a$ 是二次留数 $\bmod p$. 如果 $(a / p)=-1, a$ 被称为二次无余数 $\bmod p$.
数学代写|代数数论代写ALGEBRAIC NUMBER THEORY代 考|GAUSS SUMS
定义。让 $p$ 成为质数并让 $\zeta_p$ 做一个原始人 $p$ 单位根。我们定义高斯和如下：
$$
S=\sum_{a \bmod p}\left(\frac{a}{p}\right) \zeta_p^a,
$$
在哪里 $(a / p)$ 是勒让德符号。
这个总和有一些有趣的性质。我们在下面探讨其中的一些。
定理 7.2.1 对于 $S$ 如上所述，
$$
S^2=\left(\frac{-1}{p}\right) p .
$$
证明。根据高斯和的定义，我们有
$$
S^2=\left(\sum_{a \bmod p}\left(\frac{a}{p}\right) \zeta_p^a\right)\left(\sum_{b \bmod p}\left(\frac{b}{p}\right) \zeta_p^b\right)
$$
通过应用习题 7.1.4，我们可以将上面的简化为
$$
S^2=\sum_{a, b}\left(\frac{a b}{p}\right) \zeta_p^{a+b}
$$
我们现在通过让 $b=c a$ ，在哪里 $(c, p)=1$. 因此，
$$
S^2=\sum_{(a, p)=1} \sum_{(c, p)=1}\left(\frac{a^2 c}{p}\right) \zeta_p^{a(1+c)}
$$
同样，使用练习 7.1.4，我们得到
$$
S^2=\sum_{(a, p)=1} \sum_{(c, p)=1}\left(\frac{c}{p}\right) \zeta_p^{a(1+c)}=\sum_{(c, p)=1}\left(\frac{c}{p}\right)\left(\sum_{(a, p)=1} \zeta_p^{a(1+c)}\right) .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
