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算法Algorithm被用作进行计算和数据处理的规范。更高级的算法可以进行自动推理（被称为自动推理），并使用数学和逻辑测试来转移代码执行的各种路线（被称为自动决策）。以隐喻的方式将人类的特征作为机器的描述符，艾伦-图灵已经用 “记忆”、”搜索 “和 “刺激 “等术语进行了实践。相比之下，启发式是一种解决问题的方法，它可能没有被完全指定，或者不能保证正确或最佳的结果，特别是在没有明确定义的正确或最佳结果的问题领域。作为一种有效的方法，算法可以在有限的空间和时间内表达出来，并以一种定义明确的形式语言来计算一个函数。从一个初始状态和初始输入（也许是空的）开始，指令描述一个计算，当执行时，经过有限个定义明确的连续状态，最终产生 “输出”并终止于一个最终的终止状态。从一个状态到下一个状态的转换不一定是确定的；一些算法，即所谓的随机算法，包含了随机输入。
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计算机代写|算法代写Algorithm代考|Kruskal’s Algorithm: Proof of Correctness
We now turn to proving that Kruskal’s algorithm returns a minimum-weight spanning tree. Precisely, we need to show the following.
(a) Kruskal’s algorithm terminates.
(b) Kruskal’s algorithm returns a spanning tree.
(c) The spanning tree that Kruskal’s algorithm returns is of minimum weight.
We begin by showing that Kruskal’s algorithm terminates.
Proposition 66. Let $G(V, E, w)$ be a finite, connected, weighted graph. Kruskal’s algorithm terminates, when applied to $G$.
Proof. Kruskal’s algorithm examines each edge of $G$ at most once. As $G$ has finitely many edges, the algorithm terminates.
We next show that Kruskal’s algorithm returns a spanning tree. We do this in two parts. First, we show that Kruskal’s algorithm returns a spanning forest. Next, we show that the final spanning forest is indeed connected.
Proposition 67. Let $G(V, E, w)$ be a finite, connected, weighted graph. Kruskal’s algorithm returns a spanning forest of $G$.
Proof. Kruskal’s algorithm begins with a spanning forest $\mathcal{F}$ of $G$ that has no edges (see line 2 of Algorithm 6 ). At each iteration of Kruskal’s algorithm, at most one edge is added to $\mathcal{F}$. As a necessary condition for a given edge $e$ to added to $\mathcal{F}$, it must be the case that $e$ does not create a cycle in $\mathcal{F}$. So the graph that Kruskal’s algorithm returns indeed spans $G$ and is acyclic. Thus, Kruskal’s algorithm returns a spanning forest of $G$, as desired.
Proposition 67 provides that Kruskal’s algorithm indeed returns a spanning forest of $G$. We show that this spanning forest is indeed a tree.
计算机代写|算法代写Algorithm代考|Kruskal’s Algorithm: Runtime Complexity
In this section, we turn to analyzing the runtime complexity of Kruskal’s algorithm. We begin by sorting the edges of $G$ from smallest weight to largest weight. Sorting the edges takes time $O(|E| \cdot \log (|E|))$, where $|E|:=|E(G)|$. Now we note that there are at most $\left(\begin{array}{c}|V| \ 2\end{array}\right)$ edges in our input graph, where $|V|:=|V(G)|$. So:
$$
\begin{aligned}
\log (|E|) & \leq \log \left(\left(\begin{array}{c}
|V| \
2
\end{array}\right)\right) \
& \leq \log \left(|V|^2\right) \
& =2 \log (|V|)
\end{aligned}
$$
Thus, sorting the edges takes time $O(|E| \cdot \log (|V|))$. Next, we initialize a Union-Find data structure [CLRS09, Chapter 21] with each vertex of $G$ as an isolated component. Here, we use the Union-Find to maintain the intermediate spanning forest. The Union-Find data structure has two keep operations, find and union, each of which runs in time $O(\alpha(n))$ (where $n$ is the number of elements in the Union-Find). Here, $\alpha(n)$ is the inverse Ackermann function, which grows much more slowly than $O(\log (n))$. In the context of Kruskal’s algorithm, $n$ is the number of vertices in the graph. So both the find and union operations run in time $O(\alpha(|V|))$.
The find operation takes as input a vertex $v$ and returns a distinguished vertex $x$ that lies on the same component as $v$. We note that if $u$ and $v$ belong to the same component, then find $(u)=f$ ind $(v)$. Conversely, if find $(u)=$ find $(v)$, then $u$ and $v$ lie on the same component.
The union operation combines two disjoint components into one component.
算法代写
计算机代写|算法代写ALGORITHM代考|KRUSKAL’S ALGORITHM: PROOF OF CORRECTNESS
我们现在转向证明 Kruskal 算法返回最小权重生成树。准确地说，我们需要展示以下内蓉。
$a$ Kruskal 的算法终止。
$b$ Kruskal 算法返回生成树。
$c K$ ruskal 算法返回的生成树具有最小权重。
我们首先证明 Kruskal 的算法终止。
提案 66. 让 $G(V, E, w)$ 是一个有限的、连通的、加权的图。当应用到 Kruskal 算法时终止 $G$.
证明。Kruskal 的算法检音每条边 $G$ 最多一次。作为 $G$ 有有限多条边，算法终止。
接下来我们将展示 Kruskal 算法返回生成树。我们分两部分进行。首先，我们展示了 Kruskal 算法返回生成森林。接下来，我们证明最终生成的森林确实是连通的。
提案 67. 让 $G(V, E, w)$ 是一个有限的、连通的、加权的图。Kruskal 算法返回一个生成菻林 $G$.
证明。Kruskal 算法从生成森林开始 $\mathcal{F}$ 的 $G$ 没有边缘seeline $2 o f$ Algorithm6. 在 Kruskal 算法的每次迭代中，最多将一条边添加到 $\mathcal{F}$. 作为给定边的必要条件e添加到 $\mathcal{F}$,一定是这样的 $e$ 不会在中创建循环 F. 所以 Kruskal 算法返回的图确实跨越 $G$ 并且是非循环的。因此，Kruskal 算法返回一个生成森林 $G$ ，如预期的。
提案 67 规定 Kruskal 算法确实返回了一个生成䄴林 $G$. 我们证明这个跨越森林确实是一棵树。
计算机代写|算法代写ALGORITHM代考|KRUSKAL’S ALGORITHM: RUNTIME COMPLEXITY
在本节中，我们转而分析 Kruskal 算法的运行时复杂性。我们首先对边傢进行排序 $G$ 从最小的重量到最大的重量。对边缘进行排序需要时间 $O(|E| \cdot \log (|E|))$ ，在 哪里 $|E|:=|E(G)|$. 现在我们注意到最多有 $(|V| 2)$ 我们输入图中的边，其中 $|V|:=|V(G)|$. 所以:
$$
\log (|E|) \leq \log ((|V| 2)) \quad \leq \log \left(|V|^2\right)=2 \log (|V|)
$$
因此，对边沗进行排序需要时间 $O(|E| \cdot \log (|V|))$. 接下来，我们初始化一个 Union-Find 数据结构
$$
\text { CLRS09, Chapter } 21
$$
与每个顶点 $G$ 作为一个孤立的组件。在这里，我们使用 Union-Find 来维护中间生成林。Union-Find数据结构有两个keep操作， find和union，每一个都及时运行 $O(\alpha(n))$ where $\$ n \$ i$ sthenumberofelementsintheUnion – Find. 这里， $\alpha(n)$ 是反阿克曼函数，它的增长速度比O(log $(n))$. 在 Kruskal 算法的上下文中， $n$ 是 图中的顶点数。所以 find 和 union 操作都及时运行 $O(\alpha(|V|))$.
音找操作将顶点作为输入 $v$ 并返回一个可区分的顶点 $x$ 位于与相同的组件上 $v$. 我们注意到，如果 $u$ 和 $v$ 属于同一个组件，然后萛找 $(u)=f$ 在 $(v)$. 相反，如果发现 $(u)=$ 寻找 $(v)$ ，然后 $u$ 和 $v$ 位于同一组件上。
union 操作将两个不相交的组件合并为一个组件。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
