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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Free Groups, Generators, and Relations
So far, all of our examples of groups have been pretty concrete: we have seen cyclic groups, which can be described in terms of explicit elements, and we have seen groups such as dihedral groups and symmetric groups, which we have interpreted as the symmetries of certain objects. These are important ways of thinking about groups, and many groups naturally arise in this way. However, sometimes we will want to think of groups in a more abstract way: by describing how certain key elements relate to each other.
Let us see how we could have described the dihedral group $D_4$ in such a manner. The first step will be to find several elements in $D_4$ such that every element can be obtained by multiplying these together; such a set of elements will be called a generating set. One possibility is to take all the elements of $D_4$ as a generating set. This is perfectly valid, but it isn’t very efficient. In order to state how all the elements relate to each other, we would need to write down an entire multiplication table, which has 64 entries.
We do better by choosing two elements, which we call $\rho$ and $\sigma$. We let $\rho$ be rotation by $\pi / 2$ in the counterclockwise direction, and we let $\sigma$ be a reflection about the $y$-axis. Every element of $D_4$ can be written as a product of powers of $\rho$ and powers of $\sigma$, possibly with many repetitions. (Exercise: Why?)
However, just specifying that we can build $D_4$ out of products of $\rho$ and $\sigma$ is not enough: that doesn’t tell us, for example, that $\sigma^2$ is the identity. So, we also need to specify certain identities that these two elements satisfy; in this case, the three relations
$$
\begin{gathered}
\sigma^2=e \
\rho^4=e \
\sigma \rho=\rho^{-1} \sigma
\end{gathered}
$$
are enough to specify all the group behavior. (Exercise: Why do these relations hold?)
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Free Products
Let us take another look at the free group $F_2$ on two generators, $a$ and $b$. We know that a typical element has the form
$$
a^{m_1} b^{n_1} \cdots a^{m_k} b^{n_k}
$$
There are two important smaller groups (“subgroups,” which we will introduce formally in the next chapter) inside $F_2$ : there is the group of all powers of $a$, and there is the group of all powers of $b$. Each of these looks like a copy of the integers $\mathbb{Z}$. Let us call these two groups $A$ and $B$, respectively.
To write a general element of $F_2$, then, we take some element of $A$, then multiply it by some element of $B$, and then we go back to $A$, and so forth. We can perform this operation more generally, in the following way. Let $G$ and $H$ be two groups. We wish to form a new group out of them, as we formed $F_2$ out of $A$ and $B$. The group we form is called the free product of $G$ and $H$, and it is denoted $G * H$. A typical element is of the form
$$
g_1 h_1 g_2 h_2 \cdots g_k h_k
$$
for some $g_i \in G$ and $h_i \in H$. (It might also start with an element of $H$ or end with an element of $G$.) If we also require that none of the $g_i$ and $h_i$ are the identity elements in $G$ and $H$, respectively, then such a representation is unique.
We can also write down a presentation for $G * H$ in terms of presentations of $G$ and $H$. Suppose that $G=\left\langle S_G \mid R_G\right\rangle$ and $H=\left\langle S_H \mid R_H\right\rangle$. Suppose furthermore that $S_G$ and $S_H$ are disjoint. Then we have
$$
G * H=\left\langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H\right\rangle
$$
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|THE STONE- ČECH COMPACTIFICATION continued
很自然地想知道在拓扑空间的情况下沿覩定理 $74-\mathrm{A}$ 可以说些什么 $X$ 这不一定是紧凑的豪斯多夫。不管属性如何 $X$ ，我们从之前的工作中知道 $(X)$
可以合理地假设 $X$ 是完全正则的，我们将看到从这个假设得出几个有趣的结论。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|COMMUTATIVE $C \wedge * \$-A L G E B R A S$
在这最后一节中，我们将前两章的结果应用到非平凡莃尔伯特空间上的算子理论 $H$. 我们知道 $B(H)$ 及其所有自伴 Banach 子代数（即所有 $\$ C^{\wedge}$ -algebraso foperatorson $H$ ) are $B^{\wedge}$-代数。作为 Gelfand-Neumark 定理的特例，我们因此有
定理 A. 令 $\mathrm{A}$ 为交换律共 运算符的代数 $H$ ，和 $\Im$ 它的最大理想空间。然后是 Gelfand 映射 $T \rightarrow \widehat{T}$ 是等距的 {}$^{\wedge}$ 的同构 $A$ 到e $(\mathfrak{N})$.
如果 左[T_ii右 $}$ 是一个非空的运算符集 $H$, 那么最小的 Banach 子代数 $\leftrightarrow(H)$ 其中包含每个 $T_i$ 称为 Banach 子代数 $\leftrightarrow(H)$ 产生的 $T_i$ 的。很容易看 出，这个 Banach 子代数 $\mathbb{B}(H)$ 是所有多项式的集合的闭包 $T_i$ 的。如果 $N$ 是一个正常的运营商 $H$, 然后是 Banach 子代数 $\mathbb{B}(H)$ 产生于 $N$ 和 $\mathrm{N}^{\wedge}$ 显然是 可交换的 $\mathrm{C}$ 代数，称为交换律 $C^*$-由生成的代数 $N$. 我们现在将定理 $\mathrm{A}$ 专门化为
就目前而言，这个结果只是一个开始。为了有效地利用它，我们的首要任务是证明算子的频谱在 $A$-这被理解为它的光谱作为一个元素 $B(H)$-等于 它的光谱作为一个元素 $A$. 为了证明这一点，我们需要以下初步事实。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
