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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Adjunction and Exactness
Theorem (8.5.1). – Let $\mathrm{A}$ be a ring, let $\mathrm{M}$ be a right $\mathrm{A}$-module and let $\mathrm{N}1 \stackrel{f}{\rightarrow}$ $\mathrm{N}_2 \stackrel{g}{\rightarrow} \mathrm{N}_3 \rightarrow 0$ be an exact sequence of left A-modules. Then, the following diagram $$ \mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N}1 \stackrel{\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes f}{\longrightarrow} \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}2 \stackrel{\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes g}{\longrightarrow} \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}3 \rightarrow 0 $$ is exact. Proof. – Exactness at $\mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N}3$. We need to prove that $\mathrm{id} \mathrm{d}{\mathrm{M}} \otimes g$ is surjective. Since every element of $\mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}_3$ is a sum of split tensors, it suffices to show that for any $m \in \mathrm{M}$ and any $z \in \mathrm{N}3$, the tensor $m \otimes z$ has a preimage in $\mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N}2$. Since $g$ is surjective, there exists an element $y \in \mathrm{N}_2$ such that $g(y)=z$. Then $m \otimes z=\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes g\right)(m \otimes y)$, hence the claim.
Exactness at $\mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}2$. We need to prove that $\operatorname{Ker}\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes g\right)=\operatorname{Im}\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes f\right)$. The inclusion $\operatorname{Im}\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes f\right) \subset \operatorname{Ker}\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes g\right)$ is easy, since $\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes g\right) \circ\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes f\right)=$ $\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes(g \circ f)=0$. The other inclusion is the difficult one. Indeed, it is quite illusory to prove it directly, each element at a time. The incredulous reader should try by himself, and, after some effort, read again remark 8.1.11.
Since $\operatorname{Im}\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes f\right) \subset \operatorname{Ker}\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes g\right)$, the morphism $\operatorname{id}{\mathrm{M}} \otimes g$ induces a morphism of abelian groups $g^{\prime}:\left(\mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N}2\right) / \operatorname{Im}\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes f\right) \rightarrow \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}3$. Since $\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes g$ is surjective, $g^{\prime}$ is surjective. In fact, we need to prove that $g^{\prime}$ is an isomorphism. Let us construct an inverse $h^{\prime}$ of $g^{\prime}$. To shorten the notation, let $\mathrm{P}=\left(\mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}2\right) / \operatorname{Im}\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes f\right)$ and let $p: \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}2 \rightarrow \mathrm{P}$ be the canonical surjection. The sought-for morphism $h^{\prime}$ goes from a tensor product $\mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N}3$ to $P$. By the universal property of the tensor product, its definition amounts to the definition of a biadditive and A-balanced map $h: \mathrm{M} \times \mathrm{N}_3 \rightarrow \mathrm{P}$ such that $h(m, z)=h^{\prime}(m \otimes z)$. Moreover, $h^{\prime}(m \otimes z)$ is supposed to be a preimage of $m \otimes z$ by $\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes g$. After this paragraph of explanation, let us pass to the construction.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Faithful Flatness
Definition (8.7.1). – Let A be a commutative ring and let Mbe an A-module. One says that $\mathrm{M}$ is faithfully flat if a complex $\mathrm{N}1 \stackrel{\stackrel{u}{\rightarrow}}{\rightarrow} \mathrm{N}_2 \stackrel{v}{\rightarrow} \mathrm{N}_3$ of A-modules is exact if and only if the complex $\mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N}1 \stackrel{\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes u}{\longrightarrow} \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}2 \stackrel{\mathrm{id} \mathrm{d}{\mathrm{M}} \otimes v}{\longrightarrow} \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}_3$ is exact.
The “only if” direction of the definition shows that a faithfully flat A-module is flat.
Proposition (8.7.2). – Let $\mathrm{M}$ be a flat A-module. The following properties are equivalent:
(i) The A-module $\mathrm{M}$ is faithfully flat;
(ii) For every morphism $u: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}^{\prime}$ of $\mathrm{A}$-modules such that $\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes u=0$, one has $u=0$; (iii) For every non-zero A-module $\mathrm{N}$, one has $\mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N} \neq 0$;
(iv) For every prime ideal $\mathrm{P}$ of $\mathrm{A}$, the $\mathrm{A}$-module $\mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{K}{\mathrm{P}}$ is non-zero, where $\mathrm{K}{\mathrm{P}}$ is the field of fractions of the integral domain $\mathrm{A} / \mathrm{P}$;
(v) For every maximal ideal $\mathrm{P}$ of $\mathrm{A}$, one has $\mathrm{M} \neq \mathrm{PM}$.
Proof. – (i) $\Rightarrow$ (ii). Assume that $\operatorname{id}{\mathrm{M}} \otimes u=0$. Let us consider the complex $$ \mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N} \stackrel{\mathrm{id}{\mathrm{M}} \otimes u}{\longrightarrow} \mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N}^{\prime} \stackrel{\mathrm{id}}{\rightarrow} \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}^{\prime}
$$
which is exact since $\operatorname{id}{\mathrm{M}} \otimes u=0$, so that its image, 0 , equals the kernel of the identity isomorphism. Since $M$ is faithfully flat the initial complex was exact and $\operatorname{Im}(u)=\operatorname{Ker}\left(\mathrm{id}{N^{\prime}}\right)=0$, hence $u=0$.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代 考|ADJUNCTION AND EXACTNESS
定理8.5.1. – 让 $\mathrm{A}$ 是一个环，让 $\mathrm{M}$ 成为一个权利 $\mathrm{A}$-模块并让 $\mathrm{N} 1 \stackrel{f}{\rightarrow} \mathrm{N}2 \stackrel{g}{\rightarrow} \mathrm{N}_3 \rightarrow 0$ 是左 $\mathrm{A}$ 模块的精确序列。那么，下图 $$ \mathrm{M} \otimes \mathrm{AN} 1 \stackrel{\mathrm{idM} \otimes f}{\longrightarrow} \mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N} 2 \stackrel{\mathrm{idM} \otimes g}{\longrightarrow} \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N} 3 \rightarrow 0
$$
是准确的。证明。一精确度 $\mathrm{M} \otimes \mathrm{AN} 3$. 我们需要证明iddM $\otimes g$ 是满射的。因为每一个元素 $\mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}3$ 是分裂张量的总和，足以证明对于任何 $m \in \mathrm{M}$ 和任何 $z \in \mathrm{N} 3$,张量 $m \otimes z$ 有一个原像 $\mathrm{M} \otimes \mathrm{AN} 2$. 自从 $g$ 是满射的，存在一个元素 $y \in \mathrm{N}_2$ 这样 $g(y)=z$.然后 $m \otimes z=(\mathrm{idM} \otimes g)(m \otimes y)$ 因此索赔。 准确度在 $\mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N} 2$. 我们需要证明Ker $(\mathrm{idM} \otimes g)=\operatorname{Im}(\operatorname{idM} \otimes f)$. 包容性 $\operatorname{Im}(\mathrm{idM} \otimes f) \subset \operatorname{Ker}(\mathrm{idM} \otimes g)$ 很容易，因为
$(\mathrm{idM} \otimes g) \circ(\mathrm{idM} \otimes f)=\mathrm{idM} \otimes(g \circ f)=0$. 另一个包含是困难的。确实，直接证明它是非常虚幻的，一次每个元素。怀疑的读者应该自己尝
的， $g^{\prime}$ 是满射的。事实上，我们需要证明 $g^{\prime}$ 是一个同构。让我们构造一个逆 $h^{\prime}$ 的 $g^{\prime}$. 为了缩短符号，让 $\mathrm{P}=\left(\mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N} 2\right) / \operatorname{Im}(\mathrm{idM} \otimes f)$ 然后让
$p: \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N} 2 \rightarrow \mathrm{P}$ 是典型的满射。寻求的态射 $h^{\prime}$ 来自张量积 $\mathrm{M} \otimes \mathrm{AN} 3$ 到 $P$.根据张量积的普适性质，其定义等同于双向可加和 $\mathrm{A}$ $h: \mathrm{M} \times \mathrm{N}_3 \rightarrow \mathrm{P}$ 这样 $h(m, z)=h^{\prime}(m \otimes z)$. 而且， $h^{\prime}(m \otimes z)$ 应该是原像 $m \otimes z$ 经过idM $\otimes$ 这段解释完了，让我们进入构造。
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代 考|FAITHFUL FLATNESS
定义 8.7.1. – 设 $A$ 为交换环， $M b e$ 为 $A$ 模。有人说 $M$ 如果复数是忠实平坦的 $\mathrm{N} 1 \stackrel{u}{\rightarrow} \mathrm{N}2 \stackrel{v}{\rightarrow} \mathrm{N}_3$ 当且仅当复数 $\mathrm{M} \otimes \mathrm{AN} 1 \stackrel{\mathrm{idM} \otimes u}{\longrightarrow} \mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{N} 2 \stackrel{\mathrm{iddM} \otimes v}{\longrightarrow} \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}3$ 是准确的。 定义的“仅当”方向表明忠实平坦的 $A$ 模块是平坦的。 主张8.7.2. – 让 $M$ 是一个扁平的 $A$ 模块。以下属性是等效的: $i$ A模块 $\mathrm{M}$ 忠实地平坦； $i i$ 对于每个态射 $u: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}^{\prime}$ 的 $\mathrm{A}$-模块这样 $\mathrm{idM} \otimes u=0$, 一个有 $u=0 ; i i i$ 对于每个非零 $\mathrm{A}$ 模 $\mathrm{N}$, 一个有 $\mathrm{M} \otimes \mathrm{AN} \neq 0$; $i v$ 对于每一个素理想 $\mathrm{P}$ 的 $\mathrm{A}$ ，这 $\mathrm{A}$-模块 $\mathrm{M} \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{KP}$ 是非零的，其中 $\mathrm{KP}$ 是积分域的分数域 $\mathrm{A} / \mathrm{P}$;
$v$ 对于每一个最大理想P的 $\mathrm{A}, 一$ 个有 $\mathrm{M} \neq \mathrm{PM}$.
证明。 $-i \Rightarrow i i$. 假使，假设 $\mathrm{id} \mathrm{M} \otimes u=0$. 让我们考虑复杂的
$$
\mathrm{M} \otimes \mathrm{AN} \stackrel{\mathrm{idM} \otimes u}{\rightarrow} \mathrm{M} \otimes \mathrm{AN}^{\prime} \stackrel{\mathrm{id}}{\rightarrow} \mathrm{M} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{N}^{\prime}
$$
这是确切的，因为 $\mathrm{id} \mathrm{M} \otimes u=0$ ，因此它的图像 0 等于恒等同构的核。自从 $M$ 忠实地平坦初始复数是精确的并且 $\operatorname{Im}(u)=\operatorname{Ker}\left(\operatorname{id} N^{\prime}\right)=0$ ，因 此 $u=0$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。