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# 数学代写|微积分代写Calculus代考|MATH1051 Dominated Convergence

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## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Dominated Convergence

Now, we consider a useful sufficient condition to check uniform convergence. First a definition.

Definition 5.2.5 We say that $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ is a dominated series if there exists a sequence $\left(\alpha_n\right)$ of positive real numbers such that
$$\left|f_n(x)\right| \leq \alpha_n \quad \forall x \in I, \quad \forall n \in \mathbb{N}$$
and the series $\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n$ converges.
By Theorem 5.2.1, every dominated series converges absolutely.
Theorem 5.2.4 (Weierstrass test) Every dominated series converges uniformly and absolutely.

Proof Let $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ be a dominated series defined on an interval $I$, and let $\left(\alpha_n\right)$ be a sequence of positive reals such that $\left|f_n(x)\right| \leq \alpha_n$ for all $n \in \mathbb{N}$ and for all $x \in I$, $\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n$ converges.
Let $s_n(x)=\sum_{i=1}^n f_i(x)$ and $\sigma_n=\sum_{k=1}^n \alpha_k$ for $n \in \mathbb{N}$. Then for $n>m$,
$$\left|s_n(x)-s_m(x)\right|=\left|\sum_{i=m+1}^n f_i(x)\right| \leq \sum_{i=m+1}^n\left|f_i(x)\right| \leq \sum_{i=m+1}^n \alpha_i=\sigma_n-\sigma_m$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Power Series

Power series is a particular case of series of functions.
Notation 5.3.1 We shall use the notation $\mathbb{N}0:=\mathbb{N} \cup{0}$, and by a sequence $\left(a_n\right){n \in \mathbb{N}_0}$ we shall also mean a function $\varphi: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}$ such that $\varphi(n)=a_n$ for $n \in \mathbb{N}_0$.

Definition 5.3.1 Given a sequence $\left(a_n\right){n \in \mathbb{N}_0}$ of real numbers and a point $c \in \mathbb{R}$, a series of the form $$\sum{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n$$
is called a power series around the point $c$ (Fig. 5.5).
The power series $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n$ is also written as
$$a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+\cdots$$

## 数学代写|微积分代写CALCULUS代考|DOMINATED CONVERGENCE

$$\left|f_n(x)\right| \leq \alpha_n \quad \forall x \in I, \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

$$\left|s_n(x)-s_m(x)\right|=\left|\sum_{i=m+1}^n f_i(x)\right| \leq \sum_{i=m+1}^n\left|f_i(x)\right| \leq \sum_{i=m+1}^n \alpha_i=\sigma_n-\sigma_m$$

## 数学代写|微积分代写CALCULUS代考|POWER SERIES

$$a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+\cdots$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。