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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来，图论已经成为各种学科的重要数学工具，从运筹学和化学到遗传学和语言学，从电气工程和地理到社会学和建筑。同时，它本身也作为一门有价值的数学学科出现。
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数学代写|图论代写Graph Theory代写|Augmenting Paths and Vertex Covers
Consider the graph $G_2$ on page 215 showing the difference between a maximal and maximum matching, which are reproduced as graphs $G_4$ and $G_5$ on the next page. Other than using trial and error to find a better matching, we need a way to determine if a matching is in fact maximum. We do this through the use of alternating and augmenting paths.
Definition 5.6 Given a matching $M$ of a graph $G$, a path is called
- $M$-alternating if the edges in the path alternate between edges that are part of $M$ and edges that are not part of $M$.
- $M$-augmenting if it is an $M$-alternating path and both endpoints of the path are unsaturated by $M$, implying both the starting and ending edges of the path are not part of $M$.
Both graphs below have alternating paths; for example, the path $c a d b$ is alternating in both graphs. However, this path is only augmenting in $G_4$ since both $c$ and $b$ are unsaturated by the matching. If we switch the edges along this path we get a larger matching. This switching procedure removes the matched edges and adds the previously unmatched edges along an augmenting path. Since the path is augmenting, the matching increases in size by one edge. Note that switching along the path $c a d b$ in $G_4$ produces the matching shown in $G_5$We previously discussed that the matching shown in $G_5$ is the maximum matching for that graph. Based on the discussion above, this should imply that no augmenting path exists (try it!), since otherwise we could switch along such a path to produce a larger matching. This result is stated in the theorem below and was first published by the French mathematician Claude Berge in 1959. Note that unlike Hall’s Theorem, Berge’s Theorem holds for both bipartite graphs and non-bipartite graphs.
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Hall’s Theorem Revisited
As we noted above, there are multiple proofs of Hall’s Theorem, and the one we presented relied on induction and a basic structural argument. Below we include two additional proofs of Hall’s Theorem. The first relies on the König-Egerváry Theorem and vertex covers; the second uses Berge’s Theorem and the notion of augmenting paths. Note that for both we are omitting the forward direction of the proof as it remains the same as in the proof shown on page 217.
Theorem 5.4 (Hall’s Marriage Theorem) Given a bipartite graph $G=$ $(X \cup Y, E)$, there exists an $X$-matching if and only if $|S| \leq|N(S)|$ for any $S \subseteq X$
Proof: We will prove the contrapositive of the backwards direction of the theorem: If $G$ does not have an $X$-matching then there exists some $S \subseteq X$ such that $|S|>|N(S)|$. Assume $G$ does not have an $X$-matching. Then by the König-Egerváry Theorem (Theorem 5.11) there exists a vertex cover $Q$ with $|Q|<|X|$. Let $Q=A \cup B$ where $A \subseteq X$ and $B \subseteq Y$. Then
$$
|A|+|B|=|Q|<|X|
$$
and so
$$
|B|<|X|-|A|=|X-A|
$$
图论代写
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代写|AUGMENTING PATHS AND VERTEX COVERS
考虑图表 $G_2$ 在第 215 页显示了最大匹配和最大匹配之间的差异，这些差异被再现为图表 $G_4$ 和 $G_5$ 在下一页。除了使用反复试验来找 到更好的匹配之外，我们还需要一种方法来确定匹配是否实际上是最大匹配。我们通过使用交替和增广路径来做到这一点。 定义 5.6 给定一个匹配 $M$ 图表的 $G ，$ 条路径被称为
- $M$-alternating 如果路径中的边缘在属于的边缘之间交替 $M$ 和不属于的边缘 $M$.
- $M$-如果它是一个增强 $M$-交替路径和路径的两个端点都是不饱和的 $M$ ，意味着路径的起始和结束边缘都不是 $M$.
下面的两个图都有交替路径；例如，路径 $c a d b$ 在两个图中交替出现。然而，这条路只会增加 $G_4$ 因为两者 $c$ 和 $b$ 通过匹配是不饱和的。 如果我们沿着这条路径切换边缘，我们会得到更大的匹配。此切换过程删除匹配的边并沿增广路径添加先前不匹配的边。由于路径 是增广的，因此匹配的大小增加了一条边。注意沿路径切换 $c a d b$ 在 $G_4$ 产生中所小的匹配 $G_5$ 我们之前讨论过中所示的匹配 $G_5$ 是该图 的最大匹配。根据上面的讨论，这应该意味着不存在增广路径tryit!，否则我们可以沿着这样的路径切换以产生更大的匹配。这个结 果在下面的定理中陈述，并于 1959 年由法国数学家 Claude Berge 首次发表。请注意，与 Hall 定理不同，Berge 定理对二分图和非二 分图均成立。
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代写|HALL’S THEOREM REVISITED
正如我们上面提到的，霍尔定理有多种证明，而我们提出的证明依赖于归纳法和基本的结构论证。下面我们包括霍 尔定理的两个附加证明。第一个依赖于 König-Egerváry 定理和顶点覆盖；第二个使用 Berge 定理和增广路径的概 念。请注意，对于两者，我们都省略了证明的前向，因为它与第 217 页所示的证明相同。
定理 5.4Hall’sMarriageTheorem给定一个二分图 $G=(X \cup Y, E)$, 存在一个 $X$-匹配当且仅当 $|S| \leq|N(S)|$ 对于 任何 $S \subseteq X$
证明: 我们将证明定理反向的逆反关系: 如果 $G$ 没有 $X$-匹配则存在一些 $S \subseteq X$ 这样 $|S|>|N(S)|$. 认为 $G$ 没有 $X$-匹 配。然后由 König-Egerváry 定理Theorem5.11存在顶点覆盖 $Q$ 和 $|Q|<|X|$. 让 $Q=A \cup B$ 在哪里 $A \subseteq X$ 和 $B \subseteq Y$. 然后
$$
|A|+|B|=|Q|<|X|
$$
所以
$$
|B|<|X|-|A|=|X-A|
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
