如果你也在 怎样代写数论Number theory 学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Matrices and linear maps
Let $R$ be a ring.
For positive integers $m$ and $n$, we may naturally view $R^{1 \times m}$ and $R^{1 \times n}$ as $R$-modules. If $A$ is an $m \times n$ matrix over $R$, then the map $\sigma$ that sends $v \in R^{1 \times m}$ to $v A \in R^{1 \times n}$ is easily seen to be an $R$-linear map. Evidently, $\sigma$ is injective if and only if the rows of $A$ are linearly independent, and $\sigma$ is surjective if and only if the rows of $A \operatorname{span} R^{1 \times n}$. Likewise, the map $\tau$ that sends $w \in R^{n \times 1}$ to $A w \in R^{m \times 1}$ is also an $R$-linear map. Again, $\tau$ is injective if and only if the columns of $A$ are linearly independent, and $\tau$ is surjective if and only if the columns of $A$ span $R^{m \times 1}$.
Thus, the matrix $A$ defines in a natural way two different linear maps, one defined in terms of multiplying a row vector on the right by $A$, and the other in terms multiplying a column vector on the left by $A$. With either of these interpretations as a linear map, matrix multiplication has a natural interpretation as function composition. Let $A \in R^{m \times n}$ and $B \in R^{n \times p}$, and consider the product matrix $C=A B$. Let $\sigma_A, \sigma_B, \sigma_C$ be the maps defined by multiplication on the right by $A, B, C$, and let $\tau_A, \tau_B, \tau_C$ be the maps defined by multiplication on the left by $A, B, C$. Then it easily follows from the associativity of matrix multiplication that $\sigma_C=\sigma_B \circ \sigma_A$ and $\tau_C=\tau_A \circ \tau_B$.
We have seen how matrix/vector multiplication defines a linear map. Conversely, we shall now see that the action of any $R$-linear map can be viewed as a matrix/vector multiplication, provided the $R$-modules involved have bases (which will always be the case for finite dimensional vector spaces).
Let $M$ be an $R$-module, and suppose that $\mathcal{A}=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\right)$, with $m>$ 0 , is a basis for $M$. In this setting, the ordering of the basis elements is important, and so we refer to $\mathcal{A}$ as an ordered basis. Now, $\mathcal{A}$ defines a canonical $R$-module isomorphism $\epsilon$ that sends $\left(a_1, \ldots, a_m\right) \in R^{1 \times m}$ to $a_1 \alpha_1+\cdots+a_m \alpha_m \in M$. Thus, elements of $M$ can be represented concretely as elements of $R^{1 \times m}$; however, this representation depends on the choice $\mathcal{A}$ of the ordered basis. The vector $\epsilon^{-1}(\alpha)$ is called the coordinate vector of $\alpha($ with respect to $\mathcal{A})$
数学代写|数论代写Number Theory代考|The inverse of a matrix
Let $R$ be a ring.
For a square matrix $A \in R^{n \times n}$, we call a matrix $X \in R^{n \times n}$ an inverse of $A$ if $X A=A X=I$, where $I$ is the $n \times n$ identity matrix.
It is easy to see that if $A$ has an inverse, then the inverse is unique: if $X$ and $Y$ were inverses, then multiplying the equation $I=A Y$ on the left by $X$, we obtain $X=X(A Y)=(X A) Y=I Y=Y$.
Because the inverse of $A$ is uniquely determined, we denote it by $A^{-1}$. If $A$ has an inverse, we say that $A$ is invertible, or non-singular. If $A$ is not invertible, it is sometimes called singular. We will use the terms “invertible” and “not invertible.” Observe that $A$ is the inverse of $A^{-1}$; that is, $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$.
If $A$ and $B$ are invertible $n \times n$ matrices, then so is their product: in fact, it is easy to see that $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ (verify). It follows that if $A$ is an invertible matrix, and $k$ is a non-negative integer, then $A^k$ is invertible with inverse $\left(A^{-1}\right)^k$, which we also denote by $A^{-k}$.
It is also easy to see that $A$ is invertible if and only if the transposed matrix $A^{\top}$ is invertible, in which case $\left(A^{\top}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\top}$. Indeed, $A X=I=X A$ holds if and only if $X^{\top} A^{\top}=I=A^{\top} X^{\top}$
The following theorem connects invertibility to linear maps.
Theorem 15.3. Let $A \in R^{n \times n}$, and let $\rho: R^{1 \times n} \rightarrow R^{1 \times n}$ be the $R$-linear map that sends $v \in R^{1 \times n}$ to $v A$. Then $A$ is invertible if and only if $\rho$ is bijective.
Proof. Suppose $A$ is invertible, and let $X \in R^{n \times n}$ be its inverse. The map $\rho$ is surjective, since for any $w \in R^{1 \times n}, w=w I=w X A=\rho(w X)$. The map $\rho$ is injective, since if $\rho(v)=0^{1 \times n}$, then $v=v I=v A X=\rho(v) X=0^{1 \times n}$.
Suppose $\rho$ is bijective, so that it is an $R$-module isomorphism. The inverse $\operatorname{map} \rho^{-1}$ is also an $R$-module isomorphism. Let $X$ be the matrix representing $\rho^{-1}$ with respect to the standard basis for $R^{1 \times n}$, so that for $w \in R^{1 \times n}$, we have $w X=\rho^{-1}(w)$. Since $\rho \circ \rho^{-1}=\rho^{-1} \circ \rho=$ the identity map, it follows that $X A=A X=I$.
数论代写
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|MATRICES AND LINEAR MAPS
让 $R$ 轴承。
对于正整数 $m$ 和 $n$ ，我们可以自然地查看 $R^{1 \times m}$ 和 $R^{1 \times n}$ 作为 $R$-模块。如果 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵超过 $R$ ，然后是地图 $\sigma$ 发送 $v \in R^{1 \times m}$ 到 $v A \in R^{1 \times n}$ 很容易被视为 $R$ – 线性地图。显然， $\sigma$ 是单射的当且仅当行 $A$ 是线生独立的，并且 $\sigma$ 是满射的当且仅当行 $A \operatorname{span} R^{1 \times n}$.同样，地图 $\tau$ 发送 $w \in R^{n \times 1}$ 到 $A w \in R^{m \times 1}$ 也是一个 $R$ – 线性地图。再次， $\tau$ 是单射的当且仅当列 $A$ 是线性独立的，并且 $\tau$ 是满射的当且仅当列 $A$ 跨度 $R^{m \times 1}$.
因此，矩阵 $A$ 以一种自然的方式定义了两个不同的线性映射，一个定义为将右侧的行向量乘以 $A$ ，另一个是将左侧的列向量乘以 $A$. 通过将这两种 解释中的任何一种解释为线性映射，矩阵乘法都可以自然地解释为函数组合。让 $A \in R^{m \times n}$ 和 $B \in R^{n \times p}$ ，并考虑乘积矩阵 $C=A B$. 让 $\sigma_A, \sigma_B, \sigma_C$ 是由右边的乘法定义的映射 $A, B, C$ ，然后让 $\tau_A, \tau_B, \tau_C$ 是由左边的乘法定义的映射 $A, B, C$. 然后很容易从矩阵乘法的结合律得出 $\sigma_C=\sigma_B \circ \sigma_A$ 和 $\tau_C=\tau_A \circ \tau_B$
我们已经看到矩阵/向量乘法如何定义线性映射。相反，我们现在将看到任何行为 $R$-线性映射可以看作是矩阵/向量乘法，前提是 $R$-涉及的模块有 基础whichwillalwaysbethecase for finitedimensionalvectorspaces.
让 $M$ 豆 $R$-模块，并假设 $\mathcal{A}=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\right)$ ，和 $m>0$, 是的基础 $M$. 在这种情况下，基本元素的排序很重要，因此我们参考 $\mathcal{A}$ 作为有序的基础。 现在， $\mathcal{A}$ 定义规范 $R$-模同构 $\epsilon$ 发送 $\left(a_1, \ldots, a_m\right) \in R^{1 \times m}$ 到 $a_1 \alpha_1+\cdots+a_m \alpha_m \in M$. 因此，元素 $M$ 可以具体表示为元素 $R^{1 \times m}$; 然而，这种表示 取决于选择 $\mathcal{A}$ 的有序基础。载体 $\epsilon^{-1}(\alpha)$ 称为坐标向量 $\alpha($ 关于 $\mathcal{A})$
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|THE INVERSE OF A MATRIX
让 $R$ 轴承。
对于方阵 $A \in R^{n \times n}$ ，我们称矩阵 $X \in R^{n \times n}$ 的倒数 $A$ 如果 $X A=A X=I$ ，在哪里 $I$ 是个 $n \times n$ 单位矩阵。
很容易看出，如果 $A$ 有一个逆，那么逆是唯一的：如果 $X$ 和 $Y$ 是倒数，然后乘以方程 $I=A Y$ 在左边 $X$ ，我们获得 $X=X(A Y)=(X A) Y=I Y=Y$
因为逆 $A$ 是唯一确定的，我们用 $A^{-1}$. 如果 $A$ 有一个逆，我们说 $A$ 是可逆的，或非奇异的。如果 $A$ 不可逆，有时称为单数。我们将使用术语“可逆”和 “不可逆”。观察那个 $A$ 是的倒数 $A^{-1}$; 那是， $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$.
如果 $A$ 和 $B$ 是可逆的 $n \times n$ 矩阵，那么它们的乘积也是如此: 事实上，很容易看出 $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ verify. 由此可见，如果 $A$ 是一个可逆矩 阵，并且 $k$ 是一个非负整数，那么 $A^k$ 与 inverse 可逆 $\left(A^{-1}\right)^k$ ，我们也用 $A^{-k}$.
也很容易看出 $A$ 可逆当且仅当转置矩阵 $A^{\top}$ 是可逆的，在这种情况下 $\left(A^{\top}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\top}$. 的确， $A X=I=X A$ 成立当且仅当 $X^{\top} A^{\top}=I=A^{\top} X^{\top}$
以下定理将可逆性与线性映射联系起来。
定理 15.3。让 $A \in R^{n \times n}$ ，然后让 $\rho: R^{1 \times n} \rightarrow R^{1 \times n}$ 成为 $R$-发送的线性映射 $v \in R^{1 \times n}$ 到 $v A$. 然后 $A$ 是可逆的当且仅当 $\rho$ 是双射的。
证明。认为 $A$ 是可逆的，让 $X \in R^{n \times n}$ 是它的倒数。地图 $\rho$ 是满射的，因为对于任何 $w \in R^{1 \times n}, w=w I=w X A=\rho(w X)$. 地图 $\rho$ 是单射的，因 为如果 $\rho(v)=0^{1 \times n}$ ，然后 $v=v I=v A X=\rho(v) X=0^{1 \times n}$.
认为 $\rho$ 是双射的，所以它是一个 $R$-模块同构。逆向 $\operatorname{map} \rho^{-1}$ 也是一个 $R$-模块同构。让 $X$ 是表示的矩阵 $\rho^{-1}$ 关于标准基础 $R^{1 \times n}$,所以对于 $w \in R^{1 \times n}$ ，我们有 $w X=\rho^{-1}(w)$. 自从 $\rho \circ \rho^{-1}=\rho^{-1} \circ \rho=$ 身份映射，它遵循 $X A=A X=I$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
