如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是，一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状，而是取决于它们的组合方式。例如，正方形和圆形有许多共同的属性：它们都是一维物体（从拓扑学的角度来看），都把平面分成两部分，即内部和外部。
拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The Induced Homomorphism on Fundamental Groups
As we have seen on several occasions already, an important theme in modern mathematics is that objects are best viewed not in isolation but in terms of how they relate to similar objects. We have been following this philosophy when we looked not just at topological spaces, but also at continuous maps between them. Similarly, we looked not just at groups, but also at homomorphisms between them. In this section, we will connect the two, by studying the following question: Suppose $X$ and $Y$ are two topological spaces, and $f: X \rightarrow Y$ is a continuous map. How do $\pi_1(X)$ and $\pi_1(Y)$ relate to each other?
The answer is that there is a natural homomorphism between $\pi_1(X)$ and $\pi_1(Y)$ induced by $f$. Actually, it is obvious that there is already a natural homomorphism between $\pi_1(X)$ and $\pi_1(Y)$, because we could be talking about the trivial homomorphism that takes every element of $\pi_1(X)$ to the identity in $\pi_1(Y)$. But we mean something much more interesting here!
First, let us introduce some terminology. When we say that $(X, x)$ is a based topological space, we simply mean that $X$ is a topological space, and one of its points $x \in X$ has been singled out for attention. A continuous map $f:(X, x) \rightarrow(Y, y)$ between two based topological spaces is simply a continuous map $f: X \rightarrow Y$ that satisfies the additional property $f(x)=y$.
Proposition 10.16 Let $f:(X, x) \rightarrow(Y, y)$ be a continuous map between two based topological spaces. Then there is a homomorphism ${ }^1 f_: \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(Y)$, defined as follows: If $\gamma$ is a loop in $X$ based at $x$, then $f_([\gamma]):=[f \circ \gamma]$. We call $f_*$ the induced homomorphism of $f$.
Let us explain what $f_$ does in slightly more verbose language. If $\gamma$ is a loop in $X$ based at $x$, then we can use $f$ to take $\gamma$ to the image of $\gamma$ under $f$, namely $f \circ \gamma$, which is a loop in $Y$ based at $y$. Since we can do this for any loop, we can define a similar operation on classes of loops. So $f_$ takes a class of loops in $X$ based at $x$ to a class of loops in $Y$ based at $y$ by forming $f \circ \gamma$ to every representative $\gamma$ of the class. In other words $f_*$ takes the homotopy class of $\gamma$ to the homotopy class of the image of $\gamma$ under $f$.
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Retracts
One reason to study the induced homomorphism is that it allows us to pick up on topological features of the spaces and the map between them that are not readily available on their own. For example, certain types of maps between spaces induce injective or surjective maps on fundamental groups, and we can use this fact to learn more about the topology of the spaces.
Earlier, we were trying to show that $\mathbb{S}^2$ is not contractible, and we were almost able to do it. However, we were missing one key ingredient: that there is no continuous map $r$ from the solid sphere $B$ to the boundary sphere $\mathbb{S}^2$ such that the restriction of $r$ to the boundary is the identity. At the moment, we still won’t be able to prove that no such $r$ exists exactly. But using the induced map, we will be able to do this in one dimension lower: There is no retract from the disk to the boundary circle $\mathbb{S}^1$.
Definition 10.21 Suppose that $X$ is a topological space, and $A$ is a subspace of $X$. Then a continuous map $r: X \rightarrow A$ is called a retract if the restriction of $r$ to $A$ is the identity map.
We will also find the following special type of retract important.
Definition 10.22 A retract $r: X \rightarrow A$ is called a deformation retract of $X$ if $r$ is homotopic to the identity map on $X$.
Remark 10.23 Observe a slight sloppiness in notation here: The codomain of $r$ is $A$, but we are asking for it to be homotopic to a map whose codomain is $X$. If we were to be more pedantic, we would treat $r$ as a map from $X \rightarrow X$ whose image is $A$, rather than a map from $X$ to $A$.
We focus on retracts and deformation retracts because they behave nicely with respect to the induced map on fundamental groups.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|THE INDUCED HOMOMORPHISM ON FUNDAMENTAL GROUPS
正如我们已经多次看到的那样，现代数学的一个重要主题是最好不要孤立地看待对象，而是根据它们与相似对象的关系来看待对象。当我们不仅 关注拓扑空间，而且关注它们之间的连续映射时，我们一直在遵㑑这一理念。同样，我们不仅关注群体，还关注群体之间的同态。在本节中，我 们将通过研究以下问题将两者联系起来：假设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间，并且 $f: X \rightarrow Y$ 是连续映射。怎么做 $\pi_1(X)$ 和 $\pi_1(Y)$ 相互关联?
答案是两者之间存在自然同态 $\pi_1(X)$ 和 $\pi_1(Y)$ 由…介绍 $f$. 实际上，很明显，两者之间已经存在自然同态 $\pi_1(X)$ 和 $\pi_1(Y)$ ，因为我们可以谈论采用每 个元素的平凡同态 $\pi_1(X)$ 到身份 $\pi_1(Y)$. 但我们在这里指的是更有趣的东西!
首先，让我们介绍一些术语。当我们这样说 $(X, x)$ 是一个基于拓扑空间，我们简单的意思是 $X$ 是一个拓扑空间，它的一个点 $x \in X$ 已被挑出来引 起注意。连续映射 $f:(X, x) \rightarrow(Y, y)$ 两个基础拓扑空间之间只是一个连续映射 $f: X \rightarrow Y$ 满足附加属性 $f(x)=y$.
命题 10.16 让 $f:(X, x) \rightarrow(Y, y)$ 是两个基础拓扑空间之间的连续映射。那么有一个同态 ${ }^1 f: \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(Y)$ ，定义如下: 如果 $\gamma$ 是一个循环 $X$ 设 在 $x$ ，然后 $\left.f_{(}[\gamma]\right):=[f \circ \gamma]$.我们称之为 $f_*$ 的诱导同态 $f$.
让我们解释一下下⺀_用稍微几长的语言做。如果 $\gamma$ 是一个循环 $X$ 设在 $x$, 那么我们可以使用 $f$ 采取 $\gamma$ 的形象 $\gamma$ 在下面 $f$, 即 $f \circ \gamma$ ，这是一个循环 $Y$ 设在 $y$. 致每一位代表 $\gamma$ 类的。换句话说 $f_8$ 取同伦类 $\gamma$ 到图像的同伦类 $\gamma$ 在下面 $f$.
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|RETRACTS
研究诱导同态的一个原因是它允许我们了解空间的拓扑特征以及它们之间的映射，这些特征本身不容易获得。例如，空间之间的某些类型的映射 会导致基本群的单射或满射映射，我们可以利用这一事实来了解更多关于空间拓扑的信息。
早些时候，我们试图证明 $\mathbb{S}^2$ 是不可收缩的，我们几乎可以做到。然而，我们遗漏了一个关键因素: 没有连续的地图 $r$ 从实心球 $B$ 到边界球 ${ }^2$ 这样的 限制 $r$ 边界是身份。目前，我们仍然无法证明没有这样的 $r$ 确实存在。但是使用诱导图，我们将能够在较低的一维中做到这一点: 没有从磁盘退回 到边界圆 $S^1$.
定义 10.21 假设 $X$ 是一个拓扑空间，并且 $A$ 是一个子空间 $X$. 然后是连续映射 $r: X \rightarrow A$ 被称为撤回，如果限制 $r$ 到 $A$ 是恒等映射。 我们还会发现以下特殊类型的退刀很重要。
定义 $10.22 \mathrm{~A}$ 退刀 $r: X \rightarrow A$ 称为变形㴼回 $X$ 如果 $r$ 与上的恒等映射同伦 $X$.
备注 10.23 请注意这里的符号略有草率: $r$ 是 $A$ ，但我们要求它与一个地图同伦，其 codomain 是 $X$. 如果我们更迂腐一点，我们会对待 $r$ 作为一张地 图 $X \rightarrow X$ 谁的形象是 $A$ ，而不是来自的地图 $X$ 到 $A$.
我们专注于收缩和变形收缩，因为它们相对于基本组上的诱导映射表现得很好。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
