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拓扑学Topology作为一个活跃的研究领域，已基本完成。作为一种通用的数学语言，它的长期使用已经完善了它的定义和定理体系。如今，研究一般拓扑的确更像是学习一门语言，而不是学习数学:人们必须学习许多新单词，而大多数定理的证明却极其简单。但是定理的数量是巨大的。这并不奇怪，因为它们扮演着规范词汇使用的规则角色。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Statement of the classification result
Here is the precise formulation. As always in this chapter, $M$ denotes a (connected) closed, orientable 3-manifold. We now fix an orientation for $M$ and an embedded (closed) oriented 2-disc $\Delta \subset M$. Furthermore, we fix a point $\mathbf{0}{\Delta}$ in the interior of $\Delta$, which we call the centre of $\Delta$. (We may always choose an embedding $\phi: D^2 \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \Delta \subset M$ such that $\phi(\mathbf{0})=\mathbf{0}{\Delta}$.)
We say that a contact structure $\xi$ on $M$ is overtwisted along $\Delta$ if $(M, \xi)$ contains $\Delta$ as a standard overtwisted disc centred at $\mathbf{0}{\Delta}$ as described at the beginning of Section 4.5. We restrict our attention to cooriented and positive contact structures, i.e. those contact structures $\xi$ for which $\alpha \wedge d \alpha$ is a volume form compatible with the chosen orientation for $M$ for some (and hence any) contact form $\alpha$ defining $\xi=\operatorname{ker} \alpha$. It will be understood that the orientations of $\xi$ and $\Delta$ agree at the singular point $\mathbf{0}{\Delta}$ of the characteristic foliation $\Delta_{\xi}$.
Notation 4.7.1 We write $\Xi^{\text {ot }}(M, \Delta)$ for the space of cooriented, positive contact structures on $M$ that are overtwisted along $\Delta, \dagger$ and we write $\operatorname{Distr}(M, \Delta)$ for the space of cooriented 2-plane distributions on $M$ that are tangent to $\Delta$ at $\mathbf{0}_{\Delta}$ (again with matching orientations). Both spaces will be equipped with the $C^{\infty}$-topology (as spaces of sections of the unit cotangent bundle of $M$, for instance).
Recall that a weak homotopy equivalence between two topological spaces $X, Y$ is a (continuous) map from $X$ to $Y$, say, that induces a bijection $\pi_0(X) \rightarrow \pi_0(Y)$ between the sets of path components, and isomorphisms $\pi_k(X) \rightarrow \pi_k(Y), k \in \mathbb{N}$, on all homotopy groups (with base points in corresponding path components).
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Outline of the argument
Our aim is to show that
$$
\left(i_{\Delta}\right)_{#}: \pi_0\left(\Xi^{\text {ot }}(M, \Delta)\right) \longrightarrow \pi_0(\operatorname{Distr}(M, \Delta))
$$
is injective. In other words, given a continuous family of plane fields $\xi_t \in$ $\operatorname{Distr}(M, \Delta), t \in[0,1]$, with $\xi_0, \xi_1 \in \Xi^{\text {ot }}(M, \Delta)$, we want to find a family of contact structures $\xi_t^{\prime \prime} \in \Xi^{\mathrm{ot}}(M, \Delta)$ with $\xi_0^{\prime \prime}=\xi_0, \xi_1^{\prime \prime}=\xi_1$.
In a first step, we homotope the family $\left(\xi_t\right){t \in[0,1]}$ rel ${0,1}$ to a family $\left(\xi_t^{\prime}\right)$ of plane fields that satisfy the contact condition outside a finite number of disjoint embedded balls $B^0, B^1, \ldots, B^m$, where $B^0$ is a ball around $\Delta$, and the $B^i, i=1, \ldots, m$, are balls contained in Darboux charts for $\xi_0=\xi_0^{\prime}$ and $\xi_1=\xi_1^{\prime}$. Moreover, it is required that we keep some control over the characteristic foliations $\left(\partial B^i\right){\xi_t^{\prime}}$. To this end, we consider the $\xi_t$ in the neighbourhood of the 2-skeleton of a suitable simplicial decomposition of $M$; the mentioned balls will constitute the complement of that neighbourhood.
In a second step, we connect these balls to a single ball $B_t$, by tubes (depending on $t$ ) transverse to $\xi_t^{\prime}$. This is where Lemma 3.3 .3 will come into play. We continue to keep control over the characteristic foliations $\left(\partial B_t\right){\xi_t^{\prime}}$. In the third and final step, we use the information about $\left(\partial B_t\right){\xi_t^{\prime}}$ for extending the contact structures $\left.\xi_t^{\prime}\right|_{M \backslash B_t}$ to a continuous family $\left(\xi_t^{\prime \prime}\right)$ of contact structures on $M$ with $\xi_0^{\prime \prime}=\xi_0, \xi_1^{\prime \prime}=\xi_1$. It is at this ingenious step where the fact that $B^0$ was a neighbourhood of the overtwisted disc $\Delta$ (for $\xi_0$ and $\xi_1$ ) is used in an essential way.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Statement of the classification result
这是精确的公式。和本章一样，$M$表示一个(连通的)封闭的、可定向的3流形。我们现在为$M$和一个嵌入式(封闭的)面向2盘$\Delta \subset M$固定一个方向。此外，我们在$\Delta$的内部固定一个点$\mathbf{0}{\Delta}$，我们称之为$\Delta$的中心。(我们可能总是选择嵌入$\phi: D^2 \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \Delta \subset M$这样$\phi(\mathbf{0})=\mathbf{0}{\Delta}$。)
我们称之为接触结构 $\xi$ 在 $M$ 是过度扭曲的 $\Delta$ 如果 $(M, \xi)$ 包含 $\Delta$ 作为标准的以。为中心的过扭圆盘 $\mathbf{0}{\Delta}$ 如第4.5节开头所述。我们将注意力限制在共同导向和积极的接触结构上，即那些接触结构 $\xi$ 为了什么? $\alpha \wedge d \alpha$ 卷形是否与选择的方向兼容 $M$ 对于某些(因此是任何)联系表单 $\alpha$ 定义 $\xi=\operatorname{ker} \alpha$． 可以理解的是 $\xi$ 和 $\Delta$ 在奇点上一致 $\mathbf{0}{\Delta}$ 具有典型的叶理 $\Delta_{\xi}$．
符号4.7.1我们写 $\Xi^{\text {ot }}(M, \Delta)$ 为空间共取向，正接触结构上 $M$ 它们被过度扭曲了 $\Delta, \dagger$ 我们写道 $\operatorname{Distr}(M, \Delta)$ 对于上的共取向两平面分布的空间 $M$ 它们相切 $\Delta$ 在 $\mathbf{0}_{\Delta}$ (还是用匹配的方向)。这两个空间都将配备 $C^{\infty}$的单位余切束的各部分的空间 $M$，例如)。
回想一下，两个拓扑空间$X, Y$之间的弱同伦等价是从$X$到$Y$的(连续)映射，例如，它在所有同伦群(具有相应路径分量的基点)上的路径分量集合和同构$\pi_k(X) \rightarrow \pi_k(Y), k \in \mathbb{N}$之间诱导出双射$\pi_0(X) \rightarrow \pi_0(Y)$。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Outline of the argument
我们的目的就是要证明这一点
$$
\left(i_{\Delta}\right)_{#}: \pi_0\left(\Xi^{\text {ot }}(M, \Delta)\right) \longrightarrow \pi_0(\operatorname{Distr}(M, \Delta))
$$
是单射的。换句话说，给定一个连续的平面场族$\xi_t \in$$\operatorname{Distr}(M, \Delta), t \in[0,1]$，用$\xi_0, \xi_1 \in \Xi^{\text {ot }}(M, \Delta)$，我们想用$\xi_0^{\prime \prime}=\xi_0, \xi_1^{\prime \prime}=\xi_1$找到一个接触结构族$\xi_t^{\prime \prime} \in \Xi^{\mathrm{ot}}(M, \Delta)$。
首先，我们将家族$\left(\xi_t\right){t \in[0,1]}$ rel ${0,1}$同位到一个平面场家族$\left(\xi_t^{\prime}\right)$，这个平面场家族在有限个不相交的嵌入球$B^0, B^1, \ldots, B^m$之外满足接触条件，其中$B^0$是围绕$\Delta$的一个球，$B^i, i=1, \ldots, m$是包含在$\xi_0=\xi_0^{\prime}$和$\xi_1=\xi_1^{\prime}$的Darboux图中的球。此外，要求我们对特征叶保持一定的控制$\left(\partial B^i\right){\xi_t^{\prime}}$。为此，我们考虑$\xi_t$在邻域的2骨架上适当的简化分解$M$;上述舞会将构成该街区的补充。
在第二步中，我们通过管道(取决于$t$)横向连接到$\xi_t^{\prime}$，将这些球连接到单个球$B_t$上。这就是引理3.3将发挥作用的地方。我们继续控制特征叶$\left(\partial B_t\right){\xi_t^{\prime}}$。在第三步(也是最后一步)中，我们使用$\left(\partial B_t\right){\xi_t^{\prime}}$的信息将联系结构$\left.\xi_t^{\prime}\right|_{M \backslash B_t}$与$\xi_0^{\prime \prime}=\xi_0, \xi_1^{\prime \prime}=\xi_1$扩展到$M$上的联系结构的连续族$\left(\xi_t^{\prime \prime}\right)$。正是在这个巧妙的步骤中，$B^0$是过度扭曲盘$\Delta$(对于$\xi_0$和$\xi_1$)的邻域这一事实被以一种必要的方式使用。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
