如果你也在 怎样代写数论Number theory 学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|The field of fractions of an integral domain
Let $D$ be any integral domain. Just as we can construct the field of rational numbers by forming fractions involving integers, we can construct a field consisting of fractions whose numerators and denominators are elements of $D$. This construction is quite straightforward, though a bit tedious.
To begin with, let $S$ be the set of all pairs of the form $(a, b)$, with $a, b \in D$ and $b \neq 0_D$. Intuitively, such a pair $(a, b)$ is a “formal fraction,” with numerator $a$ and denominator $b$. We define a binary relation $\sim$ on $S$ as follows: for $\left(a_1, b_1\right),\left(a_2, b_2\right) \in S$, we say $\left(a_1, b_1\right) \sim\left(a_2, b_2\right)$ if and only if $a_1 b_2=a_2 b_1$. Our first task is to show that this is an equivalence relation:
Lemma 17.2. For all $\left(a_1, b_1\right),\left(a_2, b_2\right),\left(a_3, b_3\right) \in S$, we have
(i) $\left(a_1, b_1\right) \sim\left(a_1, b_1\right)$;
(ii) $\left(a_1, b_1\right) \sim\left(a_2, b_2\right)$ implies $\left(a_2, b_2\right) \sim\left(a_1, b_1\right)$;
(iii) $\left(a_1, b_1\right) \sim\left(a_2, b_2\right)$ and $\left(a_2, b_2\right) \sim\left(a_3, b_3\right)$ implies $\left(a_1, b_1\right) \sim\left(a_3, b_3\right)$.
Proof. (i) and (ii) are rather trivial, and we do not comment on these any further. As for (iii), assume that $a_1 b_2=a_2 b_1$ and $a_2 b_3=a_3 b_2$. Multiplying the first equation by $b_3$ we obtain $a_1 b_3 b_2=a_2 b_3 b_1$ and substituting $a_3 b_2$ for $a_2 b_3$ on the right-hand side of this last equation, we obtain $a_1 b_3 b_2=a_3 b_2 b_1$. Now, using the fact that $b_2$ is non-zero and that $D$ is an integral domain, we may cancel $b_2$ from both sides, obtaining $a_1 b_3=a_3 b_1$.
Since $\sim$ is an equivalence relation, it partitions $S$ into equivalence classes, and for $(a, b) \in S$, we denote by $[a, b]$ the equivalence class containing $(a, b)$, and we denote by $K$ the collection of all such equivalence classes. Our next task is to define addition and multiplication operations on equivalence classes, mimicking the usual rules of arithmetic with fractions. We want to define the sum of $\left[a_1, b_1\right]$ and $\left[a_2, b_2\right]$ to be $\left[a_1 b_2+a_2 b_1, b_1 b_2\right]$, and the product of $\left[a_1, b_1\right]$ and $\left[a_2, b_2\right]$ to be $\left[a_1 a_2, b_1 b_2\right]$. Note that since $D$ is an integral domain, if $b_1$ and $b_2$ are non-zero, then so is the product $b_1 b_2$, and therefore $\left[a_1 b_2+a_2 b_1, b_1 b_2\right]$ and $\left[a_1 a_2, b_1 b_2\right]$ are indeed equivalence classes. However, to ensure that this definition is unambiguous, and does not depend on the particular choice of representatives of the equivalence classes $\left[a_1, b_1\right]$ and $\left[a_2, b_2\right]$, we need the following lemma.
数学代写|数论代写Number Theory代考|Unique factorization of polynomials
Throughout this section, $F$ denotes a field.
Like the ring $\mathbb{Z}$, the ring $F[\mathrm{X}]$ of polynomials is an integral domain, and because of the division with remainder property for polynomials, $F[\mathrm{X}]$ has many other properties in common with $\mathbb{Z}$. Indeed, essentially all the ideas and results from Chapter 1 can be carried over almost verbatim from $\mathbb{Z}$ to $F[\mathrm{X}]$, and in this section, we shall do just that.
Recall that for $a, b \in F[\mathrm{X}]$, we write $b \mid a$ if $a=b c$ for some $c \in F[\mathrm{X}]$, and in this case, note that $\operatorname{deg}(a)=\operatorname{deg}(b)+\operatorname{deg}(c)$.
The units of $F[\mathrm{x}]$ are precisely the units $F^$ of $F$, that is, the non-zero constants. We call two polynomials $a, b \in F[\mathrm{X}]$ associate if $a=u b$ for $u \in F^$. It is easy to see that $a$ and $b$ are associate if and only if $a \mid b$ and $b \mid a$-indeed, this follows as a special case of part (ii) of Theorem 9.4. Clearly, any non-zero polynomial $a$ is associate to a unique monic polynomial (i.e., with leading coefficient 1), called the monic associate of $a$; indeed, the monic associate of $a$ is $\operatorname{lc}(a)^{-1} \cdot a$.
We call a polynomial $p$ irreducible if it is non-constant and all divisors of $p$ are associate to 1 or $p$. Conversely, we call a polynomial $n$ reducible if it is non-constant and is not irreducible. Equivalently, non-constant $n$ is
reducible if and only if there exist polynomials $a, b \in F[\mathrm{X}]$ of degree strictly less that $n$ such that $n=a b$.Clearly, if $a$ and $b$ are associate polynomials, then $a$ is irreducible if and only if $b$ is irreducible.
The irreducible polynomials play a role similar to that of the prime numbers. Just as it is convenient to work with only positive prime numbers, it is also convenient to restrict attention to monic irreducible polynomials.
数论代写
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|THE QUADRATIC SIEVE ALGORITHM
我们现在描述对算法SEF 的实际改进。这种被称为二次笑的算法在实践中比算法 SEF 更快；然而，它的分析有些启发式。
首先，让我们回到算法 SEF 的简化版本，我们在其中收集以下形式的关系 16.6. 此外，不是选择值 $\alpha_i$ 随机地，我们将以一种特殊的方式选择它们， 就像我们现在描述的那样。让
$$
\tilde{n}:=\lfloor\sqrt{n}\rfloor
$$
并定义多项式
$$
F:=(\mathrm{X}+\tilde{n})^2-n \in \mathbb{Z}[\mathrm{X}]
$$
除了通常的“平滑度参数” $y$ ，我们需要一个“笑选参数” $z$ ，其选择将在下面讨论。我们假设两者 $y$ 和 $z$ 是形式 $\exp \left[(\log n)^{1 / 2+o(1)}\right]$ ，以及我们的最终 选择 $y$ 和 $z$ 确实会满足这个假设。
对全部 $s=1,2, \ldots,\lfloor z\rfloor$ ，我们将确定哪些值 $s$ 是“好”的，因为相应的价值 $F(s)$ 是 $y$-光滑的。对于每一个好 $s$, 因为我们有
$F(s) \equiv(s+\tilde{n})^2(\bmod n)$ ，我们得到一个形式的关系 $(16.6)$ ，和 $\alpha_i:=[s+\tilde{n}]_n$. 如果我们至少找到 $k+1$ 良好的价值观 $s$, 然后我们可以像往常 一样应用高斯消去法来找到一个正方形 $r o o t ~ \beta 1$ 英寸 $\mathbb{Z}_n$. 希望我们会有 $\beta \neq \pm 1$ ，让我们分裂 $n$.
观察对于 $1 \leq s \leq z$ ， 我们有
$$
1 \leq F(s) \leq z^2+2 z n^{1 / 2} \leq n^{1 / 2+o(1)}
$$
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|ALGEBRAS
让 $R$ 轴承。一个 $R$-代数oralgebraover $\$ R$ 是一个环 $E$, 连同环同态 $\tau: R \rightarrow E$. 通常，地图 $\tau$ 从上下文中可以清楚地看出，如以下示例所示。
例 17.1。如果 $E$ 是一个包含 $R$ 作为一个子环，那么 $E$ 是一个 $R$-代数，其中关联的地图 $\tau: R \rightarrow E$ 只是包含映射。
例 17.2。让 $E_1, \ldots, E_n$ 是 $R$-代数，以及相关的地图 $\tau_i: R \rightarrow E_i$ ，为了 $i=1, \ldots, n$. 然后直接乘积环 $E:=E_1 \times \cdots \times E_n$ 自然被视为 $R$-代数，通 过地图 $\tau$ 发送 $a \in R$ 到 $\left(\tau_1(a), \ldots, \tau_n(a)\right) \in E$.
例 17.3。让 $E$ 豆 $R$-代数，与相关地图 $\tau: R \rightarrow E$ ，然后让 $I$ 成为理想的 $E$. 考虑商环 $E / I$. 如果 $\rho$ 是来自的自然映射 $E$ 到 $E / I$, 那么同态 $\rho \circ \tau$ 使 $E / I$ 进 $\lambda 一 个$ 个代数，称为商代数 $E$ 模块 $I$.
例 17.4。作为前面例子的特例，考虑环 $R[\mathrm{x}]$, 被视为 $R$-通过包含的代数，以及理想 $R$ 产生于 $f$ ，在哪里 $f$ 是一元多项式。然后 $R[\mathrm{X}] /(f)$ 自然被视为 $R$-代数，通过地图 $\tau$ 发送 $c \in R$ 到 $[c]_f \in R[\mathbf{x}] /(f)$. 如果 $\operatorname{deg}(f)>0$ ，然后 $\tau$ 是一个嵌入 $R$ 在 $R[\mathrm{x}] /(f)$; 如果 $\operatorname{deg}(f)=0$ ，然后 $R[\mathrm{x}] /(f)$ 是平凡 环，并且 $\tau$ 将所有内容映射到零。
从某种意义上说，一个 $R$-代数是扩展环概念的推广。当地图 $\tau: R \rightarrow E$ 是一个规范的嵌入，语言 $R$-如果想避免“识别”元素的草率，可以使用代数 $R$ 他们的形象在 $\tau$ 在 $E$ ，正如我们有时所做的那样。
在本文中，我们将对以下情况特别感兴趣 $E$ 是域上的代数 $F$. 在这种情况下， $E$ 要么包含一份 $F$, or 本身就是平凡的环。为了看到这一点，让 $\tau: F \rightarrow E$ 是关联的地图。然后因为内核 $\tau$ 是一个理想的 $F$ ，它必须是 ${$ 左[0_F右 $}$ 或者 $F$. 在前一种情况下， $\tau$ 是单射的，所以 $E$ 包含的同构副本 $F$.
在后一种情况下，我们的要求是 $\tau\left(1_F\right)=1_E$ 暗示 $1_E=0_E$ ，所以 $E$ 是微不足道的。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
