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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。
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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Strongly Convex Functions
In Sect. 2.1.3, we introduced the notion of strong convexity for differentiable convex functions. We have seen that this additional assumption significantly accelerates optimization methods. Let us study the effect of this assumption on the class of nondifferentiable convex functions. For the sake of simplicity, we work in this section with standard Euclidean norm.
Definition 3.2.2 A function $f$ is called strongly convex on a convex set $Q$ if there exists a constant $\mu>0$ such that for all $x, y \in Q$ and $\alpha \in[0,1]$ we have
$$
f(\alpha x+(1-\alpha) y) \leq \alpha f(x)+(1-\alpha) f(y)-\frac{1}{2} \mu \alpha(1-\alpha)|x-y|^2
$$
For such functions, we use the notation $f \in \mathscr{S}_\mu^0(Q)$. If in this inequality $\mu=0$, we get definition (3.1.2) of the usual convex function.
Note that for smooth convex functions we proved this inequality as one of the equivalent definitions (2.1.23).
Let us present the most important properties of strongly convex functions.
Lemma 3.2.3 Let $f \in \mathscr{S}_\mu^0(Q)$. Then for any $x \in$ int $Q$ and $y \in W$, we have
$$
f(y) \geq f(x)+f^{\prime}(x ; y-x)+\frac{1}{2} \mu|x-y|^2
$$
Proof Indeed,
$$
\begin{aligned}
& f(y) \stackrel{(3.2 .37)}{\geq} \frac{1}{\alpha}\left[f((1-\alpha) x+\alpha y)-(1-\alpha) f(x)+\frac{1}{2} \mu \alpha(1-\alpha)|x-y|^2\right] \
&=f(x)+\frac{1}{\alpha}[f(x+\alpha(y-x))-f(x)]+\frac{1}{2} \mu(1-\alpha)|y-x|^2
\end{aligned}
$$
Taking in this inequality the limit as $\alpha \downarrow 0$, we get inequality (3.2.38). The limit exists in view of Theorem 3.1.12.
Lemma 3.2.3 Let $f \in \mathscr{S}_\mu^0(Q)$. Then for any $x \in \operatorname{int} Q$ and $y \in W$, we have
$$
f(y) \geq f(x)+f^{\prime}(x ; y-x)+\frac{1}{2} \mu|x-y|^2 .
$$
Proof Indeed,
$$
\begin{aligned}
f(y) & \stackrel{(3.2 .37)}{\geq} \frac{1}{\alpha}\left[f((1-\alpha) x+\alpha y)-(1-\alpha) f(x)+\frac{1}{2} \mu \alpha(1-\alpha)|x-y|^2\right] \
& =f(x)+\frac{1}{\alpha}[f(x+\alpha(y-x))-f(x)]+\frac{1}{2} \mu(1-\alpha)|y-x|^2 .
\end{aligned}
$$
Taking in this inequality the limit as $\alpha \downarrow 0$, we get inequality (3.2.38). The limit exists in view of Theorem 3.1.12.
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Complexity Bounds in Finite Dimension
Let us look at the problems of Unconstrained Minimization again, assuming that their dimension is relatively small. This means that our computational resources allow us to perform a number of iterations of minimization schemes proportional to the dimension of the space of variables. What will be the lower complexity bounds in this case?
In this section, we obtain a finite-dimensional lower complexity bound for a problem which is closely related to minimization problems. This is the feasibility problem:
Find $x^* \in S$
where $S$ is a closed convex set. We assume that this problem is endowed with a separation oracle, which answers our request at a point $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ in the following way.
Either it reports that $\bar{x} \in S$.
Or, it returns a vector $\bar{g}$, separating $\bar{x}$ from $\mathrm{S}$ :
$$
\langle\bar{g}, \bar{x}-x\rangle \geq 0 \quad \forall x \in S
$$
In order to measure the complexity of this problem, we introduce the following assumption.
Assumption 3.2.1 There exists a point $x^* \in S$ such that for some $\epsilon>0$ the ball $B_2\left(x^*, \epsilon\right)$ belongs to $S$.
For example, if we know an optimal value $f^$ for problem (3.2.8), we can treat this problem as a feasibility problem with $$ S=\left{(t, x) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid t \geq f(x), t \leq f^+\bar{\epsilon}, x \in Q\right}
$$
The relation between accuracy parameters $\bar{\epsilon}$ and $\epsilon$ in (3.2.2) can be easily obtained, using the assumption that $f$ is Lipschitz continuous. We leave the corresponding reasoning as an exercise for the reader.
凸优化代写
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Strongly Convex Functions
在第2.1.3节中，我们引入了可微凸函数的强凸性的概念。我们已经看到，这个额外的假设显著地加速了优化方法。让我们研究这个假设对一类不可微凸函数的影响。为了简单起见，我们在本节中使用标准欧几里得范数。3.2.2函数$f$在凸集$Q$上被称为强凸函数，如果存在一个常数$\mu>0$，使得对于所有$x, y \in Q$和$\alpha \in[0,1]$都有
$$
f(\alpha x+(1-\alpha) y) \leq \alpha f(x)+(1-\alpha) f(y)-\frac{1}{2} \mu \alpha(1-\alpha)|x-y|^2
$$
。对于这样的函数，我们使用$f \in \mathscr{S}\mu^0(Q)$表示法。如果在这个不等式$\mu=0$中，我们得到了通常凸函数的定义(3.1.2)。注意，对于光滑凸函数，我们证明了这个不等式作为等价定义之一(2.1.23)。让我们给出强凸函数的最重要的性质。
引理3.2.3设$f \in \mathscr{S}\mu^0(Q)$。然后对于任意$x \in$ int $Q$和$y \in W$，我们有
$$
f(y) \geq f(x)+f^{\prime}(x ; y-x)+\frac{1}{2} \mu|x-y|^2
$$
证明确实，
$$
\begin{aligned}
& f(y) \stackrel{(3.2 .37)}{\geq} \frac{1}{\alpha}\left[f((1-\alpha) x+\alpha y)-(1-\alpha) f(x)+\frac{1}{2} \mu \alpha(1-\alpha)|x-y|^2\right] \
&=f(x)+\frac{1}{\alpha}[f(x+\alpha(y-x))-f(x)]+\frac{1}{2} \mu(1-\alpha)|y-x|^2
\end{aligned}
$$
把这个不等式的极限设为$\alpha \downarrow 0$，我们得到不等式(3.2.38)。根据定理3.1.12，极限是存在的。
引理3.2.3设$f \in \mathscr{S}_\mu^0(Q)$。那么对于任意$x \in \operatorname{int} Q$和$y \in W$，我们有
$$
f(y) \geq f(x)+f^{\prime}(x ; y-x)+\frac{1}{2} \mu|x-y|^2 .
$$
证明确实，
$$
\begin{aligned}
f(y) & \stackrel{(3.2 .37)}{\geq} \frac{1}{\alpha}\left[f((1-\alpha) x+\alpha y)-(1-\alpha) f(x)+\frac{1}{2} \mu \alpha(1-\alpha)|x-y|^2\right] \
& =f(x)+\frac{1}{\alpha}[f(x+\alpha(y-x))-f(x)]+\frac{1}{2} \mu(1-\alpha)|y-x|^2 .
\end{aligned}
$$
把这个不等式的极限设为$\alpha \downarrow 0$，我们得到不等式(3.2.38)。根据定理3.1.12，极限是存在的
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Complexity Bounds in Finite Dimension
让我们再来看看无约束最小化问题，假设它们的维度相对较小。这意味着我们的计算资源允许我们执行与变量空间维度成比例的最小化方案的多次迭代。在这种情况下复杂度的下限是多少?在本节中，我们得到了一个与最小化问题密切相关的问题的有限维下复杂度界。这是可行性问题:找到$x^* \in S$
，其中$S$是一个闭凸集。我们假设这个问题被赋予了一个分离oracle，它以以下方式在$\bar{x} \in \mathbb{R}^n$点回答我们的请求。
它要么报告$\bar{x} \in S$ .
，要么返回一个向量$\bar{g}$，将$\bar{x}$从$\mathrm{S}$中分离出来:
$$
\langle\bar{g}, \bar{x}-x\rangle \geq 0 \quad \forall x \in S
$$
为了度量这个问题的复杂性，我们引入以下假设。
假设3.2.1存在一个点$x^* \in S$，使得对于某些$\epsilon>0$，球$B_2\left(x^*, \epsilon\right)$属于$S$ .
例如，如果我们知道问题(3.2.8)的最优值$f^$，我们可以将该问题视为具有$$ S=\left{(t, x) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid t \geq f(x), t \leq f^+\bar{\epsilon}, x \in Q\right}
$$的可行性问题
假设$f$是Lipschitz连续的，可以很容易地得到(3.2.2)中精度参数$\bar{\epsilon}$和$\epsilon$之间的关系。我们把相应的推理留给读者作为练习。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
