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实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如，将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间，将实分析与一般拓扑学领域联系起来，而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物，导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念，以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。
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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Adherent point
Let $S$ be a subset of $\mathbb{R}$. A point $x \in \mathbb{R}$ is said to be an adherent point of $S$ if every neighbourhood of $x$ contains a point of $S$.
It follows that $x$ is an adherent point of $S$ if $N(x, \epsilon) \cap S \neq \phi$ for every $\epsilon>0$.
The set of all adherent points of $S$ is said to be the closure of $S$ and is denoted by $\vec{S}$.
Froni definition it follows that $S \subset \bar{S}$ for ary set $S \subset \mathbb{R}$.
Theorem 3.9.1. Let $S$ be a subset of $\mathbb{R}$. Then $\bar{S}=S \cup S^{\prime}, S^{\prime}$ being the derived set of $S$.
Proof. Let $x \in S$. Then every neighbourhood of $x$ contains $x$, a point of $S$. Therefore $x$ is an adherent point of $S$.
Thus $x \in S \Rightarrow x \in \bar{S}$ and therefore $S \subset \bar{S} \ldots \ldots$ (i)
Let $x \in S^{\prime}$. Then $x$ is a limit point of $S$. Hence every neighbourhood $N(x)$ of $x$ contains a point of $S$ other than $x$, i.e., $N(x) \cap S \neq \phi$.
Therefore $x$ is an adherent point of $S$, i.c., $x \in S^{\circ}$.
Thus $x \in S^{\prime} \Rightarrow x \in \bar{S}$ and therefore $S^{\prime} \subset \bar{S} \ldots \ldots$ (ii)
From (i) and (ii) $S \cup S^{\prime} \subset \bar{S} \ldots \ldots$ (iii)
Let $y \notin S \cup S^{\prime}$. Then $y \notin S$ and $y \notin S^{\prime}$
Since $y \notin S^{\prime}$, there exists a neighbourhood $N(y)$ of $y$ such that $N^{\prime}(y) \cap$ $S=\phi$ and also since $y \notin S, N^{\prime}(y) \cap S=\phi \Rightarrow N(y) \cap S=\phi$.
This shows that $y$ is not an adherent point of $S$.
Therefore $y \notin S \cup S^{\prime} \Rightarrow y \notin \bar{S}$.
Contrapositively, $y \in \bar{S} \Rightarrow y \in S \cup S^{\prime}$ and therefore $\bar{S} \subset S \cup S^{\prime} \ldots$ (iv)
From (iii) and (iv) $\bar{S}=S \cup S^{\prime}$ and this completes the proof.
Theorem 3.9.2. Let $S$ be a subset of $\mathbb{R}$. Then $S$ is a closed set if and only if $S=\vec{S}$.
Proof. Let $S$ be a closed’set. Then $S^{\prime} \subset S$.
$$
S \cup S^{\prime}=S \text {, i.e. } \bar{S}=S
$$
Conversely, let $S$ be a subset of $\mathbb{R}$ such that $\bar{S}=S$. Then $S=S \cup S^{\prime}$.
This implies $S^{\prime} \subset S$ and therefore $S$ is a closed set.
This completes the proof.
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Another definition of a closed set
A set $S \subset \mathbb{R}$ is said to be a closed set if $\mathbb{R}-S$ is an open set.
Theorem 3.9.9. A set $S \subset \mathbb{R}$ is closed if and only if $S^{\prime} \subset S$.
Proof. Let $S$ be a closed set in $\mathbb{R}$. Then $\mathbb{R}-S$ is an open set, by definition.
Let $x \in \mathbb{R}-S$. Then $x$ is an interior point of $\mathbb{R}-S$. Therefore there exists a neighbourhood $N(x)$ of $x$ such that $N(x) \subset \mathbb{R}-S$, i.e., $N(x) \cap S=\phi$
It follows that $x$ is not a limit point of $S$, i.e., $x \notin S^{\prime}$.
Thus $x \in \mathbb{R}-S \Rightarrow x \notin S^{\prime}$.
Contrapositively, $x \in S^{\prime} \Rightarrow x \notin \mathbb{R}-S$, i.e., $x \in S$.
This proves that $S^{\prime} \subset S$.
Conversely, let $S$ be a subset of $\mathbb{R}$ such that $S^{\prime} \subset S$.
Let $x \in \mathbb{R}-S$. Then $x \notin S$ and therefore $x \notin S^{\prime}$ since $S^{\prime} \subset S$.
‘Thus there exists a neighbourhood $N(x)$ of $x$ such that $N(x) \cap S=\phi$ and therefore $N(x) \subset \mathbb{R}-S$.
Thus $x \in \mathbb{R}-S \Rightarrow N(x) \subset \mathbb{R}-S$.
So $x$ is an interior point of $\mathbb{R}-S$, proving that $\mathbb{R}-S$ is an open set. Therefore $S$ is a closed set.
This completes the proof.
Remark. Since $\mathbb{R}$ is an open set , $\phi$ being the complement of $\mathbb{R}$, is a closed set. Since $\phi$ is an open set, $\mathbb{R}$ being the complement of $\phi$, is a closed set.
Therefore the set $\mathbb{R}$ is both open and closed; the set $\phi$ is both open and closed in $\mathbb{R}$.
We are now in search of subsets of $\mathbb{R}$ which are both open and closed in $\mathbb{R}$. The next theorem throws light on our search.
Theorem 3.9.10. No non-empty proper subset of $\mathbb{R}$ is both open and closed in $\mathbb{R}$.
Proof. If possible, let $S$ be a non-empty proper subset of $\mathbb{R}$ which is both open and closed. Since $S$ is a proper subset of $\mathbb{R}$, there exists an element $c$ in $\mathbb{R}-S$. Therefore $S \subset(-\infty, c) \cup(c, \infty)$.
Since $S$ is non-empty, at least one of $S \cap(-\infty, c)$ and $S \cap(c, \infty)$ is non-empty.
Let $A=S \cap(-\infty, c) \neq \phi$. $A$ is bounded above, $c$ being an upper bound. Therefore $\sup A$ exists. Let $a=\sup A$. Then $a \leq c$.
For each $\epsilon>0$, there is an element $b$ in $A$ such that $a-\epsilon<b \leq a$. $b \in A \Rightarrow b \in S$.
Therefore each $\epsilon$-neighbourhood of $a$ contains a point of $S$.
So $a \in \bar{S}$ and since $S$ is closed, $a \in S$. Therefore $a<c$.
Since $S$ is open and $a \in S$, for some positive $\delta,(a-\delta, a+\delta) \subset S$.
Let $d<\min {\delta, c-a}$. Then $a+d<a+\delta$ and $a+d<c$.
Therefore $a+d \in S$ and $a+d \in(-\infty, c)$.
Therefore $a+d \in A$ and this contradicts the definition of $a$.
Hence our assumption is wrong and the theorem is established.
实分析代写
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Adherent point
让 $S$ 的子集 $\mathbb{R}$． A点 $x \in \mathbb{R}$ 据说是附着点 $S$ 如果每一个 $x$ 包含一个点 $S$．
由此得出 $x$ 附着点是什么 $S$ 如果 $N(x, \epsilon) \cap S \neq \phi$ 对于每一个 $\epsilon>0$．
的所有附着点的集合 $S$ 据说是关闭的吗 $S$ 表示为 $\vec{S}$．
弗罗尼定义是这样的 $S \subset \bar{S}$ 对于任意集合 $S \subset \mathbb{R}$．
定理3.9.1。让 $S$ 的子集 $\mathbb{R}$． 然后 $\bar{S}=S \cup S^{\prime}, S^{\prime}$ 的派生集 $S$．
证明。让 $x \in S$． 然后每一个邻近的 $x$ 包含 $x$，某一点 $S$． 因此 $x$ 附着点是什么 $S$．
因此 $x \in S \Rightarrow x \in \bar{S}$ 因此 $S \subset \bar{S} \ldots \ldots$ (i)
让 $x \in S^{\prime}$． 然后 $x$ 极限点是 $S$． 因此每一个邻居 $N(x)$ 的 $x$ 包含一个点 $S$ 除了 $x$，即: $N(x) \cap S \neq \phi$．
因此 $x$ 附着点是什么 $S$，如: $x \in S^{\circ}$．
因此 $x \in S^{\prime} \Rightarrow x \in \bar{S}$ 因此 $S^{\prime} \subset \bar{S} \ldots \ldots$ (ii)
由第(i)及(ii)段 $S \cup S^{\prime} \subset \bar{S} \ldots \ldots$ (iii)
让 $y \notin S \cup S^{\prime}$． 然后 $y \notin S$ 和 $y \notin S^{\prime}$
自从 $y \notin S^{\prime}$，有一个邻居 $N(y)$ 的 $y$ 这样 $N^{\prime}(y) \cap$ $S=\phi$ 而且自从 $y \notin S, N^{\prime}(y) \cap S=\phi \Rightarrow N(y) \cap S=\phi$．
这表明 $y$ 不是附着点吗 $S$．
因此 $y \notin S \cup S^{\prime} \Rightarrow y \notin \bar{S}$．
对正的， $y \in \bar{S} \Rightarrow y \in S \cup S^{\prime}$ 因此 $\bar{S} \subset S \cup S^{\prime} \ldots$ (iv)
由第(iii)及(iv)段 $\bar{S}=S \cup S^{\prime}$ 这样证明就完成了。
定理3.9.2。让 $S$ 的子集 $\mathbb{R}$． 然后 $S$ 闭集是否当且仅当 $S=\vec{S}$．
证明。让 $S$ 做一个封闭的集合。然后 $S^{\prime} \subset S$．
$$
S \cup S^{\prime}=S \text {, i.e. } \bar{S}=S
$$
反之，令 $S$ 的子集 $\mathbb{R}$ 这样 $\bar{S}=S$． 然后 $S=S \cup S^{\prime}$．
这意味着 $S^{\prime} \subset S$ 因此 $S$ 是一个封闭集合。
这就完成了证明。
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Another definition of a closed set
一套 $S \subset \mathbb{R}$ 据说是一个封闭的集合吗 $\mathbb{R}-S$ 是一个开放集。
定理3.9.9。一套 $S \subset \mathbb{R}$ 闭合当且仅当 $S^{\prime} \subset S$．
证明。让 $S$ 做一个封闭的房间 $\mathbb{R}$． 然后 $\mathbb{R}-S$ 是一个开集，根据定义。
让 $x \in \mathbb{R}-S$． 然后 $x$ 内点是 $\mathbb{R}-S$． 因此存在一个邻域 $N(x)$ 的 $x$ 这样 $N(x) \subset \mathbb{R}-S$，即: $N(x) \cap S=\phi$
由此得出 $x$ 极限点不是吗 $S$，即: $x \notin S^{\prime}$．
因此 $x \in \mathbb{R}-S \Rightarrow x \notin S^{\prime}$．
对正的， $x \in S^{\prime} \Rightarrow x \notin \mathbb{R}-S$，即: $x \in S$．
这证明了 $S^{\prime} \subset S$．
反之，令 $S$ 的子集 $\mathbb{R}$ 这样 $S^{\prime} \subset S$．
让 $x \in \mathbb{R}-S$． 然后 $x \notin S$ 因此 $x \notin S^{\prime}$ 自从 $S^{\prime} \subset S$．
“这样就有了邻居 $N(x)$ 的 $x$ 这样 $N(x) \cap S=\phi$ 因此 $N(x) \subset \mathbb{R}-S$．
因此 $x \in \mathbb{R}-S \Rightarrow N(x) \subset \mathbb{R}-S$．
所以 $x$ 内点是 $\mathbb{R}-S$证明 $\mathbb{R}-S$ 是一个开放集。因此 $S$ 是一个封闭集合。
这就完成了证明。
备注:自从 $\mathbb{R}$ 是一个开放集， $\phi$ 作为…的补充 $\mathbb{R}$，是一个封闭的集合。自从 $\phi$ 是一个开放集， $\mathbb{R}$ 作为…的补充 $\phi$，是一个封闭的集合。
因此这个集合 $\mathbb{R}$ 既是开放的又是封闭的;布景 $\phi$ 是开放的还是封闭的 $\mathbb{R}$．
我们现在要找的是 $\mathbb{R}$ 哪些是既开放又封闭的 $\mathbb{R}$． 下一个定理为我们的研究提供了线索。
定理3.9.10。的非空固有子集 $\mathbb{R}$ 是开放的还是封闭的 $\mathbb{R}$．
证明。如果可能的话，让 $S$ 的非空固有子集 $\mathbb{R}$ 它既是开放的也是封闭的。自从 $S$ 的适当子集是 $\mathbb{R}$，存在一个元素 $c$ 在 $\mathbb{R}-S$． 因此 $S \subset(-\infty, c) \cup(c, \infty)$．
自从 $S$ 是非空的，至少有一个 $S \cap(-\infty, c)$ 和 $S \cap(c, \infty)$ 是非空的。
让 $A=S \cap(-\infty, c) \neq \phi$． $A$ 是有界的， $c$ 作为上界。因此 $\sup A$ 存在。让 $a=\sup A$． 然后 $a \leq c$．
对于每一个 $\epsilon>0$，有一个元素 $b$ 在 $A$ 这样 $a-\epsilon<b \leq a$． $b \in A \Rightarrow b \in S$．
因此每个 $\epsilon$-邻域 $a$ 包含一个点 $S$．
所以 $a \in \bar{S}$ 既然 $S$ 是封闭的， $a \in S$． 因此 $a<c$．
自从 $S$ 是开放的 $a \in S$对于一些积极的 $\delta,(a-\delta, a+\delta) \subset S$．
让 $d<\min {\delta, c-a}$． 然后 $a+d<a+\delta$ 和 $a+d<c$．
因此 $a+d \in S$ 和 $a+d \in(-\infty, c)$．
因此 $a+d \in A$ 这与。的定义相矛盾 $a$．
因此，我们的假设是错误的，定理是成立的。
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微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
