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信息论information theory基本课题的应用包括源编码/数据压缩（如ZIP文件），以及信道编码/错误检测和纠正（如DSL）。它的影响对于旅行者号深空任务的成功、光盘的发明、移动电话的可行性和互联网的发展都至关重要。该理论在其他领域也有应用，包括统计推理、密码学、神经生物学、感知、语言学、分子代码的进化和功能（生物信息学）、热物理、分子动力学、量子计算、黑洞、信息检索、情报收集、剽窃检测、模式识别、异常检测甚至艺术创作。
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数学代写|信息论代写Information Theory代考|FUNCTIONS OF MARKOV CHAINS
Here is an example that can be very difficult if done the wrong way. It illustrates the power of the techniques developed so far. Let $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ be a stationary Markov chain, and let $Y_i=\phi\left(X_i\right)$ be a process each term of which is a function of the corresponding state in the Markov chain. What is the entropy rate $H(\mathcal{Y})$ ? Such functions of Markov chains occur often in practice. In many situations, one has only partial information about the state of the system. It would simplify matters greatly if $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ also formed a Markov chain, but in many cases, this is not true. Since the Markov chain is stationary, so is $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$, and the entropy rate is well defined. However, if we wish to compute $H(\mathcal{Y})$, we might compute $H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1\right)$ for each $n$ and find the limit. Since the convergence can be arbitrarily slow, we will never know how close we are to the limit. (We can’t look at the change between the values at $n$ and $n+1$, since this difference may be small even when we are far away from the limit-consider, for example, $\sum \frac{1}{n}$.)
It would be useful computationally to have upper and lower bounds converging to the limit from above and below. We can halt the computation when the difference between upper and lower bounds is small, and we will then have a good estimate of the limit.
We already know that $H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1\right)$ converges monotonically to $H(\mathcal{Y})$ from above. For a lower bound, we will use $H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1, X_1\right)$. This is a neat trick based on the idea that $X_1$ contains as much information about $Y_n$ as $Y_1, Y_0, Y_{-1}, \ldots$.
Lemma 4.5.1
$$
H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_2, X_1\right) \leq H(\mathcal{Y})
$$
Proof: We have for $k=1,2, \ldots$,
$$
H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_2, X_1\right) \stackrel{(\text { a })}{=} H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_2, Y_1, X_1\right)
$$
$$
\stackrel{\text { b) }}{=} H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1, X_1, X_0, X_{-1}, \ldots, X_{-k}\right)
$$
$$
\begin{aligned}
& \stackrel{(\mathbf{C})}{=} H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1, X_1, X_0, X_{-1}, \ldots,\right. \
& X_{-k}, Y_0, \ldots, Y_{-k} \text { ) } \
& \text { (d) } \
& \stackrel{\text { (d) }}{\leq} H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1, Y_0, \ldots, Y_{-k}\right) \
& \stackrel{(\mathrm{e})}{=} H\left(Y_{n+k+1} \mid Y_{n+k}, \ldots, Y_1\right) \text {, } \
&
\end{aligned}
$$
where (a) follows from that fact that $Y_1$ is a function of $X_1$, and (b) follows from the Markovity of $X$, (c) follows from the fact that $Y_i$ is a function of $X_i$, (d) follows from the fact that conditioning reduces entropy, and (e) follows by stationarity. Since the inequality is true for all $k$, it is true in the limit. Thus,
$$
H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1, X_1\right) \leq \lim k H\left(Y{n+k+1} \mid Y_{n+k}, \ldots, Y_1\right)
$$
数学代写|信息论代写Information Theory代考|EXAMPLES OF CODES
Definition A source code $C$ for a random variable $X$ is a mapping from $\mathcal{X}$, the range of $X$, to $\mathcal{D}^*$, the set of finite-length strings of symbols from a $D$-ary alphabet. Let $C(x)$ denote the codeword corresponding to $x$ and let $l(x)$ denote the length of $C(x)$.
For example, $C($ red $)=00, C($ blue $)=11$ is a source code for $\mathcal{X}={$ red, blue $}$ with alphabet $\mathcal{D}={0,1}$.
Definition The expected length $L(C)$ of a source code $C(x)$ for a random variable $X$ with probability mass function $p(x)$ is given by
$$
L(C)=\sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) l(x),
$$
where $l(x)$ is the length of the codeword associated with $x$.
Without loss of generality, we can assume that the $D$-ary alphabet is $\mathcal{D}={0,1, \ldots, D-1}$
Some examples of codes follow.
Example 5.1.1 Let $X$ be a random variable with the following distribution and codeword assignment:
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{Pr}(X=1)=\frac{1}{2}, & \text { codeword } C(1)=0 \
\operatorname{Pr}(X=2)=\frac{1}{4}, & \text { codeword } C(2)=10 \
\operatorname{Pr}(X=3)=\frac{1}{8}, & \text { codeword } C(3)=110 \
\operatorname{Pr}(X=4)=\frac{1}{8}, & \text { codeword } C(4)=111 .
\end{array}
$$
The entropy $H(X)$ of $X$ is 1.75 bits, and the expected length $L(C)=$ $E l(X)$ of this code is also 1.75 bits. Here we have a code that has the same average length as the entropy. We note that any sequence of bits can be uniquely decoded into a sequence of symbols of $X$. For example, the bit string 0110111100110 is decoded as 134213 .
信息论代写
数学代写|信息论代写Information Theory代考|FUNCTIONS OF MARKOV CHAINS
这是一个例子，如果做错了，可能会非常困难。它说明了迄今为止开发的技术的力量。设$X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$为平稳马尔可夫链，设$Y_i=\phi\left(X_i\right)$为一个过程，其每一项都是马尔可夫链中相应状态的函数。熵率是多少$H(\mathcal{Y})$ ?这种马尔可夫链函数在实践中经常出现。在许多情况下，人们只有关于系统状态的部分信息。如果$Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$也形成一个马尔可夫链，这将大大简化问题，但在许多情况下，这是不正确的。由于马尔可夫链是平稳的，所以$Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$也是平稳的，并且熵率定义得很好。然而，如果我们希望计算$H(\mathcal{Y})$，我们可以为每个$n$计算$H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1\right)$并找到极限。由于收敛速度可以任意慢，我们永远不会知道我们离极限有多近。(我们不能看到$n$和$n+1$的值之间的变化，因为即使我们远离极限，这种差异也可能很小，例如，$\sum \frac{1}{n}$ .)
在计算上，上界和下界从上面和下面收敛到极限将是有用的。当上界和下界之间的差很小时，我们可以停止计算，然后我们将有一个很好的极限估计。
我们已经知道$H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1\right)$从上面单调收敛到$H(\mathcal{Y})$。对于下界，我们用$H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1, X_1\right)$。这是一个巧妙的技巧，基于$X_1$包含与$Y_1, Y_0, Y_{-1}, \ldots$一样多的$Y_n$信息。
引理4.5.1
$$
H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_2, X_1\right) \leq H(\mathcal{Y})
$$
证明:对于$k=1,2, \ldots$，
$$
H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_2, X_1\right) \stackrel{(\text { a })}{=} H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_2, Y_1, X_1\right)
$$
$$
\stackrel{\text { b) }}{=} H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1, X_1, X_0, X_{-1}, \ldots, X_{-k}\right)
$$
$$
\begin{aligned}
& \stackrel{(\mathbf{C})}{=} H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1, X_1, X_0, X_{-1}, \ldots,\right. \
& X_{-k}, Y_0, \ldots, Y_{-k} \text { ) } \
& \text { (d) } \
& \stackrel{\text { (d) }}{\leq} H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1, Y_0, \ldots, Y_{-k}\right) \
& \stackrel{(\mathrm{e})}{=} H\left(Y_{n+k+1} \mid Y_{n+k}, \ldots, Y_1\right) \text {, } \
&
\end{aligned}
$$
其中(a)源于$Y_1$是$X_1$的函数，(b)源于$X$的马尔可夫性，(c)源于$Y_i$是$X_i$的函数，(d)源于条件作用降低熵的事实，(e)源于平稳性。因为这个不等式对所有$k$都成立，所以它在极限下也是成立的。因此，
$$
H\left(Y_n \mid Y_{n-1}, \ldots, Y_1, X_1\right) \leq \lim k H\left(Y{n+k+1} \mid Y_{n+k}, \ldots, Y_1\right)
$$
数学代写|信息论代写Information Theory代考|EXAMPLES OF CODES
定义源代码 $C$ 对于一个随机变量 $X$ 是从 $\mathcal{X}$，范围 $X$， to $\mathcal{D}^*$，由a的符号组成的有限长度字符串的集合 $D$-任意字母表。让 $C(x)$ 表示对应的码字 $x$ 让 $l(x)$ 表示的长度 $C(x)$.
例如: $C($ 红色 $)=00, C($ 蓝色 $)=11$ 源代码是什么 $\mathcal{X}={$ 红色，蓝色 $}$ 用字母表示 $\mathcal{D}={0,1}$.
定义期望的长度 $L(C)$ 源代码的 $C(x)$ 对于一个随机变量 $X$ 带概率质量函数 $p(x)$ 由
给出$$
L(C)=\sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) l(x),
$$
where $l(x)$ 码字的长度是否与 $x$.
在不失一般性的前提下，我们可以假设 $D$-任何字母都是 $\mathcal{D}={0,1, \ldots, D-1}$
下面是一些代码示例。例5.1.1让 $X$ 是一个随机变量，具有以下分布和码字分配:
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{Pr}(X=1)=\frac{1}{2}, & \text { codeword } C(1)=0 \
\operatorname{Pr}(X=2)=\frac{1}{4}, & \text { codeword } C(2)=10 \
\operatorname{Pr}(X=3)=\frac{1}{8}, & \text { codeword } C(3)=110 \
\operatorname{Pr}(X=4)=\frac{1}{8}, & \text { codeword } C(4)=111 .
\end{array}
$$
熵 $H(X)$ 的 $X$ 是1.75位，预期长度是多少 $L(C)=$ $E l(X)$ 这段代码也是1.75位。这里我们有一个代码，它的平均长度和熵是一样的。我们注意到，任何比特序列都可以唯一地解码成的符号序列 $X$． 例如，位串0110111100110被解码为134213。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
