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泛函分析functional analysis 是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。
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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Elementary Abstract Measure Theory
We shall begin our study of Lebesgue measure and integration theory from some fundamental, general notions.
The concept of measure of a set arises from the problem of generalizing the notion of “size” of sets in $\mathbb{R}$ and $\mathbb{R}^n$ and extending such notions to arbitrary sets. Thus, the measure of a set $A=(a, b) \subset \mathbb{R}$ is merely its length, the measure of a set $A \subset \mathbb{R}^2$ is its area, and of a set $A \subset \mathbb{R}^3$, its volume. In more general situations, the idea of the size of a set is less clear. Measure theory is the mathematical theory concerned with these generalizations and is an indispensable part of functional analysis. The benefits of generalizing ideas of size of sets are substantial, and include the development of a rich and powerful theory of integration that extends and generalizes elementary Riemann integration outlined in Chapter 1. Now, we find that the basic mathematical properties of sizes of geometrical objects, such as area and volume, are shared by other types of sets of interest, such as sets of random events and the probability of events taking place. Our plan here is to give a brief introduction to this collection of ideas, which includes the ideas of Lebesgue measure and integration essential in understanding fundamental examples of metric and normed spaces dealt with in subsequent chapters. We begin with the concept of $\sigma$-algebra.
$\sigma$-Algebra of (Measurable) Sets. Suppose we are given a set $X$. A nonempty class $S \subset \mathcal{P}(X)$ is called a $\sigma$-algebra of sets if the following conditions hold:
(i) $A \in S \Rightarrow A^{\prime} \in S$.
(ii) $A_i \in S, i=1,2, \ldots \Rightarrow \bigcup_1^{\infty} A_i \in S$.
Numerous other definitions of similar algebraic structures exist. The letter ” $\sigma$ ” corresponds to the countable unions in the second condition. If only finite unions are considered, one talks about an algebra of sets without the symbol ” $\sigma$. .”
数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|Construction of Lebesgue Measure in $\mathbb{R}^n$
Though many interesting examples of measure spaces are possible, we will focus our attention almost exclusively on the most important case – the concept of Lebesgue measure and Lebesgue measurable sets. The present section is devoted to one of many possible constructions of it. The two notions, the Lebesgue measure and Lebesgue measurable sets, will be constructed simultaneously.
Partition of $\mathbb{R}^n$. For a given positive integer $k$ we will consider the following partition of the real line
$$
\mathcal{S}_k=\left{\left[\frac{\nu}{2^k}, \frac{\nu+1}{2^k}\right): \nu \in \mathbb{Z}\right}
$$
and the corresponding partition of $\mathbb{R}^n$
$$
\mathcal{S}_k^n=\left{\sigma=\left[\frac{\nu_1}{2^k}, \frac{\nu_1+1}{2^k}\right) \times \cdots \times\left[\frac{\nu_n}{2^k}, \frac{\nu_n+1}{2^k}\right): \nu=\left(\nu_1, \ldots, \nu_n\right) \in \boldsymbol{Z}^n\right}
$$
So the whole $\mathbb{R}^n$ has been partitioned into half-open, half-closed cubes $\sigma$ of the same size. The diagonal length
$$
\delta_k=2^{-k} \sqrt{n}
$$
will be called the radius of the partition. You can think of $1 / 2^k$ as a length scale and $1 / 2^{k n}$ being the measure (length, area, volume etc.) of cube $\sigma$.
Partition of an Open Set. Let $G \subset \mathbb{R}^n$ be an open set. Given a positive integer $k$ we define a partition of the open set $G$ as the family of all cubes belonging to the partition of $\mathbb{R}^n$ whose closures are contained in $G$.
$$
\mathcal{S}_k(G)=\left{\sigma \in \mathcal{S}_k^n: \bar{\sigma} \subset G\right}
$$
The union of cubes belonging to $\mathcal{S}_k(G)$ will be denoted by
$$
S_k(G)=\bigcup\left{\sigma \in \mathcal{S}_k(G)\right}
$$
The concept of the partition of an open set $G$ is illustrated in Fig. 3.1.
泛函分析代写
数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Elementary Abstract Measure Theory
我们将从一些基本的、一般的概念开始研究勒贝格测度和积分理论。
集合测度的概念是由推广$\mathbb{R}$和$\mathbb{R}^n$中集合的“大小”概念并将其推广到任意集合的问题产生的。因此，集合$A=(a, b) \subset \mathbb{R}$的度量仅仅是它的长度，集合$A \subset \mathbb{R}^2$的度量是它的面积，集合$A \subset \mathbb{R}^3$的度量是它的体积。在更一般的情况下，集合大小的概念不太清楚。测度论是与这些推广有关的数学理论，是泛函分析不可缺少的一部分。推广集合大小的思想的好处是实质性的，包括一个丰富而强大的积分理论的发展，它扩展和推广了第1章中概述的初等黎曼积分。现在，我们发现几何对象大小的基本数学性质，如面积和体积，与其他类型的兴趣集合共享，如随机事件集和事件发生的概率。我们在这里的计划是对这些思想的集合做一个简要的介绍，其中包括勒贝格测度和积分的思想，这些思想对于理解度量空间和赋范空间的基本例子至关重要，这些例子将在随后的章节中讨论。我们从$\sigma$ -代数的概念开始。
$\sigma$ -(可测)集的代数。假设我们有一个集合$X$。如果满足下列条件，则非空类$S \subset \mathcal{P}(X)$称为$\sigma$ -集合代数:
(i) $A \in S \Rightarrow A^{\prime} \in S$ .
(ii) $A_i \in S, i=1,2, \ldots \Rightarrow \bigcup_1^{\infty} A_i \in S$ .
存在许多其他类似代数结构的定义。字母“$\sigma$”对应第二个条件中的可数联合。如果只考虑有限并，我们讨论的是一个不带” $\sigma$ . .”符号的集合代数
数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|Construction of Lebesgue Measure in $\mathbb{R}^n$
尽管度量空间可能有许多有趣的例子，但我们将几乎只关注最重要的例子- Lebesgue测度和Lebesgue可测集的概念。本节专门讨论它的许多可能的构造之一。勒贝格测度和勒贝格可测集这两个概念将被同时构建。
$\mathbb{R}^n$的分区。对于一个给定的正整数$k$，我们将考虑实数线
$$
\mathcal{S}_k=\left{\left[\frac{\nu}{2^k}, \frac{\nu+1}{2^k}\right): \nu \in \mathbb{Z}\right}
$$
和对应的$\mathbb{R}^n$
$$
\mathcal{S}_k^n=\left{\sigma=\left[\frac{\nu_1}{2^k}, \frac{\nu_1+1}{2^k}\right) \times \cdots \times\left[\frac{\nu_n}{2^k}, \frac{\nu_n+1}{2^k}\right): \nu=\left(\nu_1, \ldots, \nu_n\right) \in \boldsymbol{Z}^n\right}
$$
的分区，因此整个$\mathbb{R}^n$被划分为相同大小的半开半闭立方体$\sigma$。对角线长度
$$
\delta_k=2^{-k} \sqrt{n}
$$
将称为分区的半径。你可以认为$1 / 2^k$是一个长度刻度，$1 / 2^{k n}$是立方体的度量(长度，面积，体积等)$\sigma$ .
开放集的分区。设$G \subset \mathbb{R}^n$为开放集。给定一个正整数$k$，我们将开放集$G$的分区定义为属于$\mathbb{R}^n$分区的所有立方体的族，这些立方体的闭包包含在$G$中。
$$
\mathcal{S}_k(G)=\left{\sigma \in \mathcal{S}_k^n: \bar{\sigma} \subset G\right}
$$
属于$\mathcal{S}_k(G)$的立方体的并集将被表示为
$$
S_k(G)=\bigcup\left{\sigma \in \mathcal{S}_k(G)\right}
$$
开放集$G$的分区的概念如图3.1所示。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
