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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来，图论已经成为各种学科的重要数学工具，从运筹学和化学到遗传学和语言学，从电气工程和地理到社会学和建筑。同时，它本身也作为一门有价值的数学学科出现。
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数学代写|图论代写Graph Theory代写|Trees and forests
An acyclic graph, one not containing any cycles, is called a forest. A connected forest is called a tree. (Thus, a forest is a graph whose components are trees.) The vertices of degree 1 in a tree are its leaves. ${ }^5$ Every nontrivial tree has a leaf – consider, for example, the ends of a longest path. This little fact often comes in handy, especially in induction proofs about trees: if we remove a leaf from a tree, what remains is still a tree.
Theorem 1.5.1. The following assertions are equivalent for a graph $T$ :
(i) $T$ is a tree;
(ii) Any two vertices of $T$ are linked by a unique path in $T$;
(iii) $T$ is minimally connected, i.e. $T$ is connected but $T-e$ is disconnected for every edge $e \in T$;
(iv) $T$ is maximally acyclic, i.e. $T$ contains no cycle but $T+x y$ does, for any two non-adjacent vertices $x, y \in T$.
The proof of Theorem 1.5.1 is straightforward, and a good exercise for anyone not yet familiar with all the notions it relates. Extending our notation for paths from Section 1.3, we write $x T y$ for the unique path in a tree $T$ between two vertices $x, y$ (see (ii) above).
A frequently used application of Theorem 1.5.1 is that every connected graph contains a spanning tree: by the equivalence of (i) and (iii), any minimal connected spanning subgraph will be a tree. Figure 1.4.1 shows a spanning tree in each of the three components of the graph depicted.
Corollary 1.5.2. The vertices of a tree can always be enumerated, say as $v_1, \ldots, v_n$, so that every $v_i$ with $i \geqslant 2$ has a unique neighbour in $\left{v_1, \ldots, v_{i-1}\right}$.
Proof. Use the enumeration from Proposition 1.4.1.
Corollary 1.5.3. A connected graph with $n$ vertices is a tree if and only if it has $n-1$ edges.
Proof. Induction on $i$ shows that the subgraph spanned by the first $i$ vertices in Corollary 1.5.2 has $i-1$ edges; for $i=n$ this proves the forward implication. Conversely, let $G$ be any connected graph with $n$ vertices and $n-1$ edges. Let $G^{\prime}$ be a spanning tree in $G$. Since $G^{\prime}$ has $n-1$ edges by the first implication, it follows that $G=G^{\prime}$.
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Bipartite graphs
Let $r \geqslant 2$ be an integer. A graph $G=(V, E)$ is called $r$-partite if $V$ admits a partition into $r$ classes such that every edge has its ends in different classes: vertices in the same partition class must not be adjacent. Instead of ‘2-partite’ one usually says bipartite.
An $r$-partite graph in which every two vertices from different partition classes are adjacent is called complete; the complete $r$-partite graphs for all $r$ together are the complete multipartite graphs. The complete $r$-partite graph $\overline{K^{n_1}} * \ldots * \overline{K^{n_r}}$ is denoted by $K_{n_1, \ldots, n_r}$; if $n_1=\ldots=n_r=: s$, we abbreviate this to $K_s^r$. Thus, $K_s^r$ is the complete $r$-partite graph in which every partition class contains exactly $s$ vertices. ${ }^6$ (Figure 1.6.1 shows the example of the octahedron $K_2^3$; compare its drawing with that in Figure 1.4.3.) Graphs of the form $K_{1, n}$ are called stars; the vertex in the singleton partition class of this $K_{1, n}$ is the star’s centre.
Clearly, a bipartite graph cannot contain an odd cycle, a cycle of odd length. In fact, the bipartite graphs are characterized by this property:
Proposition 1.6.1. A graph is bipartite if and only if it contains no odd cycle.
Proof. Let $G=(V, E)$ be a graph without odd cycles; we show that $G$ is bipartite. Clearly a graph is bipartite if all its components are bipartite or trivial, so we may assume that $G$ is connected. Let $T$ be a spanning tree in $G$, pick a root $r \in T$, and denote the associated tree-order on $V$ by $\leqslant_T$. For each $v \in V$, the unique path $r T v$ has odd or even length. This defines a bipartition of $V$; we show that $G$ is bipartite with this partition.
图论代写
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Trees and forests
路径是表单的非空图形$P=(V, E)$
$$
V=\left{x_0, x_1, \ldots, x_k\right} \quad E=\left{x_0 x_1, x_1 x_2, \ldots, x_{k-1} x_k\right},
$$
$x_i$都是不同的。顶点$x_0$和$x_k$由$P$连接，称为其端点;顶点$x_1, \ldots, x_{k-1}$是$P$的内部顶点。一条路径的边数就是它的长度，长度为$k$的路径用$P^k$表示。请注意，$k$允许为零;因此，$P^0=K^1$。
我们通常通过其顶点的自然序列来引用路径，例如${ }^3$写入$P=x_0 x_1 \ldots x_k$并调用$P$作为从$x_0$到$x_k$的路径(以及$x_0$和$x_k$之间的路径)。
对于$0 \leqslant i \leqslant j \leqslant k$，我们写
$x P$
$$
\begin{aligned}
P x_i & :=x_0 \ldots x_i \
x_i P & :=x_i \ldots x_k \
x_i P x_j & :=x_i \ldots x_j
\end{aligned}
$$
和
$$
\begin{aligned}
\stackrel{\circ}{P} & :=x_1 \ldots x_{k-1} \
P \stackrel{\circ}{x}i & :=x_0 \ldots x{i-1} \
\stackrel{\circ}{i}i P & :=x{i+1} \ldots x_k \
\stackrel{\circ}{x}i P \stackrel{\circ}{j}j & :=x{i+1} \ldots x{j-1}
\end{aligned}
$$
获取$P$的适当子路径。我们使用类似的直观符号来连接路径;例如，如果三个路径的并集$P x \cup x Q y \cup y R$还是一个路径，我们可以简单地用$P x Q y R$表示它。
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Bipartite graphs
如果一个非空图$G$的任意两个顶点通过$G$中的路径相连，则称为连通图。如果$U \subseteq V(G)$和$G[U]$连接，我们也称$U$本身已连接(在$G$中)。我们通常说“disconnected”而不是“not connected”。
提案1.4.1。连接图$G$的顶点总是可以被枚举的，比如$v_1, \ldots, v_n$，这样$G_i:=G\left[v_1, \ldots, v_i\right]$与每个$i$相连。
证明。选择任意顶点作为$v_1$，并归纳地假设$v_1, \ldots, v_i$已被选定为某些$i<|G|$。现在选择一个顶点$v \in G-G_i$。当连接$G$时，它包含一个$v-v_1$路径$P$。选择$G-G_i$中$P$的最后一个顶点作为$v_{i+1}$;然后$v_{i+1}$在$G_i$有一个邻居。每个$G_i$的连通性遵循$i$的归纳。
假设$G=(V, E)$是一个图表。$G$的最大连通子图称为$G$的一个分量。注意，被连接的组件总是非空的;因此，空图没有组件。
如果$A, B \subseteq V$和$X \subseteq V \cup E$是这样的，$G$中的每个$A-B$路径都包含$X$的一个顶点或一条边，我们说$X$将$G$中的$A$和$B$分开。注意，这意味着$A \cap B \subseteq X$。更一般地说，如果$G-X$是断开的，那么$X$将分离$G$，也就是说，如果$X$将不在$X$中的两个顶点分离到$G$中。一组分离的顶点是一个分隔符。分隔边的集合没有通用名称，但有些这样的集合有通用名称;关于削减和债券的定义见1.9节。将同一组件的两个其他顶点分开的顶点称为切顶点，将其两端分开的边称为桥。因此，图中的桥就是那些不在任何循环上的边。以上翻译结果来自有道神经网络翻译（YNMT）· 通用场景
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
