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数学分析Mathematical Analysis MTH131LR这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。
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数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Finite vs. Infinite-Dimensional Spaces
This section draws some sharp distinctions between finite and infinitedimensional spaces. Although some of the results in this section have intrinsic importance and will be used later in the book, they are collected here to convince the reader that infinite-dimensional spaces are truly vast compared to finitedimensional ones and that a very different set of tools is needed for studying them. Among other results, we will see that local compactness characterizes finitedimensional normed linear spaces, and that an infinite-dimensional Banach space cannot have a countable linear basis.
Definition. A Banach space is a complete normed linear space.
Examples of Banach spaces include $\left(\mathbb{K}^n,|\cdot|_2\right),\left(\mathcal{C}[0,1],|\cdot|_{\infty}\right)$, and all $l^p$ spaces.
Lemma 6.1.1. Let $X$ be an $n$-dimensional vector space. Then there exists a norm $|\cdot|^$ on $X$ such that $\left(X,|\cdot|^\right)$ is isometric to $\left(\mathbb{K}^n,|\cdot|_{\infty}\right)$. In particular, $\left(X,|\cdot|^*\right)$ is complete and locally compact.
Proof. Fix a basis $\left{x_1, \ldots, x_n\right}$ of $X$, and define $|x|^=\max {1 \leq i \leq n}\left|a_i\right|$, where $x=$ $\sum{i=1}^n a_i x_i$ is the unique representation of $x$ as a linear combination of the basis elements. The mapping $T: x \mapsto\left(a_1, \ldots, a_n\right)$ is clearly a linear isometry from $\left(X,|\cdot|^\right)$ onto $\left(\mathbb{K}^n,|\cdot|_{\infty}\right)$.
Theorem 6.1.2. Let $(X,|\cdot|)$ be an $n$-dimensional normed linear space, and let $|\cdot|^$ be the norm on $X$ defined in lemma 6.1.1. Then there exist positive constants $\alpha$ and $\beta$ such that, for all $x \in X, \beta|x|^ \leq|x| \leq \alpha|x|^$. Proof. We continue to use the notation of the proof of the previous lemma. Let $\alpha=n \max {1 \leq i \leq n}\left|x_i\right|$. Then $$ \begin{aligned} |x| & =\left|\sum{i=1}^n a_i x_i\right| \leq \sum_{i=1}^n\left|a_i\right|\left|x_i\right| \leq \max {1 \leq i \leq n}\left|x_i\right| \sum{i=1}^n\left|a_i\right| \
& \leq n \max {1 \leq i \leq n}\left|x_i\right| \max {1 \leq i \leq n}\left|a_i\right|=\alpha|x|^ .
\end{aligned}
$$
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Bounded Linear Mappings
The boundedness of a linear transformation on a normed linear space and its continuity are used synonymously. Every linear transformation on a finite-dimensional space is continuous. The picture is far more complicated for linear transformations on infinite-dimensional spaces. In this chapter and the next, we study continuous linear transformations exclusively because nonlinear transformations and discontinuous linear transformations fall outside the realm of beginning linear functional analysis.
In this section, we study the various equivalent characterizations of boundedness, the space of bounded linear transformations on a normed linear space, and the dual space in particular. The section concludes with a typical representation theorem, which gives a concrete description of the dual of a normed linear space. Throughout this section, $X$ and $Y$ are normed linear spaces.
Definition. A linear mapping $T: X \rightarrow Y$ is said to be bounded if there exists a constant $M>0$ such that for every $x \in X$,
$$
|T(x)| \leq M|x|
$$
Theorem 6.2.1. Let $T: X \rightarrow Y$ be linear. The following are equivalent:
(a) $T$ is continuous.
(b) $T$ is continuous at one point $x_0 \in X$.
(c) $T$ is continuous at 0 .
(d) $T$ is bounded.
Proof. (a) implies (b), obviously.
(b) implies (c). Let $x_n \rightarrow 0$ in $X$. Then $x_n+x_0$ converges to $x_0$. By assumption, $\lim _n T\left(x_n+x_0\right)=T\left(x_0\right)$. But $\lim _n T\left(x_n+x_0\right)=\lim _n T\left(x_n\right)+T\left(x_0\right)$; hence $\lim _n T\left(x_n\right)=0$
(c) implies (d). Suppose $T$ is not bounded. Then, for every $n \in \mathbb{N}$, there exists $x_n \in X$ such that $\left|T\left(x_n\right)\right|>n\left|x_n\right|$. Let $\xi_n=\frac{x_n}{n\left|x_n\right|}$. Then $\lim _n \xi_n=0$ in $X$, but $\left|T\left(\xi_n\right)\right|=\frac{\left|T\left(x_n\right)\right|}{n\left|x_n\right|}>1$. Thus, $\lim _n T\left(\xi_n\right) \neq 0$ in $Y$, and $T$ is not continuous at 0 .
(d) implies (a). Suppose that there is a constant $M>0$ such that, for every $x \in X$, $|T(x)| \leq M|x|$, and $\lim _n x_n=x$ in $X$. Then
$$
\lim _n\left|T\left(x_n\right)-T(x)\right|=\lim _n\left|T\left(x_n-x\right)\right| \leq \lim _n M\left|x_n-x\right|=0
$$
数学分析代写
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Finite vs. Infinite-Dimensional Spaces
本节在有限维空间和无限维空间之间画出一些明显的区别。虽然本节中的一些结果具有内在的重要性，并将在本书后面使用，但这里收集它们是为了说服读者，无限维空间与有限维空间相比确实是巨大的，并且需要一套非常不同的工具来研究它们。在其他结果中，我们将看到局部紧性是有限维赋范线性空间的特征，并且无限维Banach空间不能有可数的线性基。
定义。巴拿赫空间是一个完全赋范线性空间。
Banach空格的示例包括$\left(\mathbb{K}^n,|\cdot|_2\right),\left(\mathcal{C}[0,1],|\cdot|_{\infty}\right)$和所有$l^p$空格。
引理6.1.1。设$X$是一个$n$维向量空间。那么在$X$上存在一个规范$|\cdot|^$，使得$\left(X,|\cdot|^\right)$与$\left(\mathbb{K}^n,|\cdot|_{\infty}\right)$等距。特别是，$\left(X,|\cdot|^*\right)$是完整的和局部紧凑的。
证明。固定$X$的基$\left{x_1, \ldots, x_n\right}$，并定义$|x|^=\max {1 \leq i \leq n}\left|a_i\right|$，其中$x=$$\sum{i=1}^n a_i x_i$是$x$作为基元素的线性组合的唯一表示。映射$T: x \mapsto\left(a_1, \ldots, a_n\right)$显然是从$\left(X,|\cdot|^\right)$到$\left(\mathbb{K}^n,|\cdot|_{\infty}\right)$的线性等距。
定理6.1.2。设$(X,|\cdot|)$为一个$n$维赋范线性空间，设$|\cdot|^$为引理6.1.1中定义的$X$上的范数。那么存在正常数$\alpha$和$\beta$，使得对于所有$x \in X, \beta|x|^ \leq|x| \leq \alpha|x|^$。证明。我们继续使用前面引理的证明符号。让$\alpha=n \max {1 \leq i \leq n}\left|x_i\right|$。然后$$ \begin{aligned} |x| & =\left|\sum{i=1}^n a_i x_i\right| \leq \sum_{i=1}^n\left|a_i\right|\left|x_i\right| \leq \max {1 \leq i \leq n}\left|x_i\right| \sum{i=1}^n\left|a_i\right| \
& \leq n \max {1 \leq i \leq n}\left|x_i\right| \max {1 \leq i \leq n}\left|a_i\right|=\alpha|x|^ .
\end{aligned}
$$
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Bounded Linear Mappings
在赋范线性空间上线性变换的有界性与连续性是同义词。有限维空间上的每一个线性变换都是连续的。对于无限维空间上的线性变换，情况要复杂得多。在本章和下一章中，我们只研究连续线性变换，因为非线性变换和不连续线性变换不在线性泛函分析的范围之内。
在本节中，我们研究了有界性的各种等价表征，以及赋范线性空间上有界线性变换的空间，特别是对偶空间。最后给出了一个典型的表示定理，给出了赋范线性空间对偶的具体描述。在本节中， $X$ 和 $Y$ 是赋范线性空间。
定义。线性映射 $T: X \rightarrow Y$ 是有界的，如果存在一个常数 $M>0$ 这样对于每一个 $x \in X$，
$$
|T(x)| \leq M|x|
$$
定理6.2.1。让 $T: X \rightarrow Y$ 是线性的。以下是等价的:
(a) $T$
(b) $T$ 在某一点连续吗 $x_0 \in X$.
(c) $T$
(d) $T$
证明。显然，(a)暗示(b)，
(b)暗示(c) $x_n \rightarrow 0$ 在 $X$． 然后 $x_n+x_0$ 收敛于 $x_0$． 根据假设， $\lim _n T\left(x_n+x_0\right)=T\left(x_0\right)$． 但是 $\lim _n T\left(x_n+x_0\right)=\lim _n T\left(x_n\right)+T\left(x_0\right)$;因此 $\lim _n T\left(x_n\right)=0$
(c)暗示(d) $T$ 无界。然后，对于每一个 $n \in \mathbb{N}$，存在 $x_n \in X$ 这样 $\left|T\left(x_n\right)\right|>n\left|x_n\right|$． 让 $\xi_n=\frac{x_n}{n\left|x_n\right|}$． 然后 $\lim _n \xi_n=0$ 在 $X$，但是 $\left|T\left(\xi_n\right)\right|=\frac{\left|T\left(x_n\right)\right|}{n\left|x_n\right|}>1$． 因此， $\lim _n T\left(\xi_n\right) \neq 0$ 在 $Y$，和 $T$
(d)意味着(a)。假设存在一个常数 $M>0$ 这样，对于每一个 $x \in X$， $|T(x)| \leq M|x|$，和 $\lim _n x_n=x$ 在 $X$． 然后
$$
\lim _n\left|T\left(x_n\right)-T(x)\right|=\lim _n\left|T\left(x_n-x\right)\right| \leq \lim _n M\left|x_n-x\right|=0
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
