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First let us explore the idea of estimating the parameters of a bivariate parametric model $S(t ; x)$, where $x$ is the age at selection and $t$ is duration (time) since selection. (Note that if different $S(t ; x)$ are estimated for males and females, then sex is accounted for by separation. Allowing for sex by inclusion will be considered in the following section.)
As mentioned above, a logical form for $S(t ; x)$ will depend on the nature of the aging process, the nature of the selection process, and the interaction between the two. This has been studied by Tenenbein and Vanderhoof [74], who then proposed the forms for $S(t ; x)$ which we will consider in this section.
As mentioned earlier in this chapter, it is frequently easier to work with the hazard rate function than with the survival function for purposes of parameter estimation. Thus we will consider
$$
\lambda(t ; x)=-\frac{d}{d t} \ln S(t ; x)
$$
which, in actuarial notation, is denoted by $\mu_{[x]+t}$.
Consider the model
$$
\mu_{[x]+t}=B r^t c^{x+t},
$$
where $x+t$ is the attained age. To estimate $B, r$ and $c$, we assume that we have values of $\mu_{[x]+t+1 / 2}^o$ from sample data, and we will fit (8.52) to these values by least squares.
As in Section 8.3.2, we will use a log transformation and actually fit
$$
\ln \mu_{[x]+t}=\ln B+t \cdot \ln r+(x+t) \cdot \ln c=\alpha+\beta t+\gamma(x+t)
$$
to the values of $\ln \mu_{[x]+t+1 / 2}^o$. Thus
$$
S S=\sum_{x=a}^b \sum_{t=0}^{k-1} w_{x, t}\left[\alpha+\beta\left(t+\frac{1}{2}\right)+\gamma\left(x+t+\frac{1}{2}\right)-\ln \mu_{{x}+t+1 / 2}^o\right]^2
$$
is the general weighted sum of squares to be minimized by the least-squares estimates $\hat{\alpha}, \hat{\beta}$ and $\hat{\gamma}$, where the select period is $k$ years.

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Now let us consider the general case where there are $s$ concomitant variables, $z_1, z_2, \cdots, z_s$. We will use $\mathbf{z}$ to denote the column vector of concomitant variables, and will denote the survival function by $S(t ; \mathbf{z})$ and the hazard function by $\lambda(t ; \mathbf{z})$. As usual,
$$
\lambda(t ; \mathbf{z})=-\frac{d}{d t} \ln S(t ; \mathbf{z})
$$
so
$$
S(t ; \mathbf{z})=\exp \left(-\int_0^t \lambda(u ; \mathbf{z}) d u\right)
$$
and
$$
f(t ; \mathbf{z})=S(t ; \mathbf{z}) \cdot \lambda(t ; \mathbf{z})
$$
Each person in the group to which $S(t ; \mathbf{z})$ applies will have his or her own hazard rate, wherein the values of $\mathbf{z}$ apply specifically to that person. For example, suppose $z_1$ is age at selection, and $z_2$ and $z_3$ are indicator variables defined by
$$
z_2= \begin{cases}0 & \text { if male } \ 1 & \text { if female }\end{cases}
$$
and
$$
z_3= \begin{cases}0 & \text { if smoker } \ 1 & \text { if nonsmoker }\end{cases}
$$
If person $i$ is a 40-year-old, nonsmoking female, then her hazard rate function is $\lambda\left(t ; \mathbf{z}_i\right)$, where $\mathbf{z}_i^{\prime}=[40,1,1]$.

生存模型代考

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首先，让我们探索估计双变量参数模型$S(t ; x)$的参数的想法，其中$x$是选择时的年龄，$t$是选择后的持续时间(时间)。(注意，如果估计男性和女性的$S(t ; x)$不同，那么性别是通过分离来解释的。允许包含性将在以下部分中考虑。)
如上所述，$S(t ; x)$的逻辑形式将取决于老化过程的性质、选择过程的性质以及两者之间的相互作用。Tenenbein和Vanderhoof[74]对此进行了研究，他们随后提出了$S(t ; x)$的形式，我们将在本节中考虑。
正如本章前面提到的，为了参数估计的目的，使用风险率函数通常比使用生存函数更容易。因此，我们将考虑
$$
\lambda(t ; x)=-\frac{d}{d t} \ln S(t ; x)
$$
在精算符号中，用$\mu_{[x]+t}$表示。
考虑模型
$$
\mu_{[x]+t}=B r^t c^{x+t},
$$
其中$x+t$为达到的年龄。为了估计$B, r$和$c$，我们假设样本数据中有$\mu_{[x]+t+1 / 2}^o$的值，我们将用最小二乘法对这些值拟合(8.52)。
与第8.3.2节一样，我们将使用一个对数转换并实际拟合
$$
\ln \mu_{[x]+t}=\ln B+t \cdot \ln r+(x+t) \cdot \ln c=\alpha+\beta t+\gamma(x+t)
$$
到$\ln \mu_{[x]+t+1 / 2}^o$的值。因此
$$
S S=\sum_{x=a}^b \sum_{t=0}^{k-1} w_{x, t}\left[\alpha+\beta\left(t+\frac{1}{2}\right)+\gamma\left(x+t+\frac{1}{2}\right)-\ln \mu_{{x}+t+1 / 2}^o\right]^2
$$
是由最小二乘估计值$\hat{\alpha}, \hat{\beta}$和$\hat{\gamma}$最小化的一般加权平方和，其中选择的周期为$k$年。

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现在让我们考虑一般情况下，有$s$伴随变量$z_1, z_2, \cdots, z_s$。我们将使用$\mathbf{z}$表示伴随变量的列向量，并将生存函数表示为$S(t ; \mathbf{z})$，风险函数表示为$\lambda(t ; \mathbf{z})$。像往常一样，
$$
\lambda(t ; \mathbf{z})=-\frac{d}{d t} \ln S(t ; \mathbf{z})
$$
所以
$$
S(t ; \mathbf{z})=\exp \left(-\int_0^t \lambda(u ; \mathbf{z}) d u\right)
$$
和
$$
f(t ; \mathbf{z})=S(t ; \mathbf{z}) \cdot \lambda(t ; \mathbf{z})
$$
适用$S(t ; \mathbf{z})$的组中的每个人都有他或她自己的危险率，其中$\mathbf{z}$的值专门适用于该个人。例如，假设$z_1$是选择时的年龄，$z_2$和$z_3$是由定义的指示变量
$$
z_2= \begin{cases}0 & \text { if male } \ 1 & \text { if female }\end{cases}
$$
和
$$
z_3= \begin{cases}0 & \text { if smoker } \ 1 & \text { if nonsmoker }\end{cases}
$$
如果某人$i$是一位40岁，不吸烟的女性，那么她的危险率函数是$\lambda\left(t ; \mathbf{z}_i\right)$，其中$\mathbf{z}_i^{\prime}=[40,1,1]$。

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