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数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Euler-Lagrange Equation
Consider
$$
I=\int_a^b f\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right) d x
$$
For every well-behaved function $y$ of $x$, we can find $I$ as a real number so that $I$ depends on what function $y$ is of $x$. The problem of calculus of variations is to find that function $y(x)$ for which $I$ is maximum or minimum. The answer is given by the solution of Euler-Lagrange’s equation
$$
\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}\right)=0
$$
which is an ordinary differential equation of the second order. A proof of this result will be obtained in the next section by using dynamic programming.
If
$$
I=\iint f\left(x, y, z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right) d x d y \equiv \iint f(x, y, z, p, q) d x d y
$$
then $I$ is maximum or minimum when
$$
\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial p}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\right)=0
$$
数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Maximum-Entropy Distributions
(a) We want to find that probability distribution for a variate varying over the range $(-\infty, \infty)$ which has maximum entropy out of all distributions having a given mean $m$ and a given variance $\sigma^2$.
Let $f(x)$ be the probability density function, then we have to maximize entropy defined by
subject to
$$
\begin{gathered}
S=-\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ln f(x) d x \
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1, \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x=m \
\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x=\sigma^2+m^2
\end{gathered}
$$
We form the Lagrangian
$$
L=\int_{-\infty}^{\infty}-f(x) \ln f(x)-\lambda \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x-\mu \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x-v \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x
$$
Here the integrand contains only $x$ and $y(=f(x))$ and there is no $y^{\prime}$ in it. As such (8) gives
$$
-(1+\ln f(x))-\lambda-\mu x-v x^2=0
$$
or
$$
f(x)=A e^{\mu x+v x 2}
$$
We use Eqn. (11) to calculate $A, \mu, v$ to get
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} e^{-[1 / 2}(x-m)^2 / \sigma^{2]}
$$
This shows that out of all distributions with a given mean $m$ and a given variance $\sigma^2$, the normal distribution $N\left(m, \sigma^2\right)$ has the maximum entropy.
Now mean and variance are the simplest moments and the maximum entropy distribution for which these moments have prescribed values is the normal distribution. This gives one reason for the importance of the normal distribution.
(b) We now want to find the distribution over the interval $[0, \infty)$ which has maximum entropy out of all those which have given arithmetic and geometric means.
Here we have to maximize
$$
-\int_0^{\infty} f(x) \ln f(x) d x
$$
subject to
$$
\int_0^{\infty} f(x) d x=1, \int_0^{\infty} x f(x) d x=m, \int_0^{\infty} \ln x f(x) d x=\ln g
$$
Using Lagrange’s method and Eqn. (8) we get
$$
f(x)=A e^{-a x} x^{\gamma-1}
$$
A, $a, \gamma$ are determined by using Eqn. (8). Thus gamma distribution has the maximum entropy out of all distributions which have given arithmetic and geometric means.
(c) We want to find the maximum entropy bivariate distribution when $x, y$ vary from $-\infty$ to $\infty$ and when means, variances, and covariance are prescribed.
We have to maximize
$$
-\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \ln f(x, y) d x d y
$$
数学建模代写
数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Euler-Lagrange Equation
考虑一下
$$
I=\int_a^b f\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right) d x
$$
对于$x$的每一个表现良好的函数$y$，我们都可以找到$I$为实数，因此$I$取决于$x$的函数$y$是什么。变分法的问题是找出$I$为最大值或最小值的函数$y(x)$。答案由欧拉-拉格朗日方程的解给出
$$
\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}\right)=0
$$
这是一个二阶常微分方程。下一节将使用动态规划来证明这个结果。
如果
$$
I=\iint f\left(x, y, z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right) d x d y \equiv \iint f(x, y, z, p, q) d x d y
$$
那么$I$是最大值或最小值
$$
\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial p}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\right)=0
$$
数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Maximum-Entropy Distributions
(a)我们想要找到在范围$(-\infty, \infty)$内变化的变量的概率分布，该分布在具有给定均值$m$和给定方差$\sigma^2$的所有分布中具有最大熵。
设$f(x)$为概率密度函数，那么我们要将熵的最大值定义为
以
$$
\begin{gathered}
S=-\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ln f(x) d x \
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1, \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x=m \
\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x=\sigma^2+m^2
\end{gathered}
$$
我们形成拉格朗日函数
$$
L=\int_{-\infty}^{\infty}-f(x) \ln f(x)-\lambda \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x-\mu \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x-v \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x
$$
这里的被积函数只包含$x$和$y(=f(x))$，其中没有$y^{\prime}$。因此(8)给出
$$
-(1+\ln f(x))-\lambda-\mu x-v x^2=0
$$
或
$$
f(x)=A e^{\mu x+v x 2}
$$
我们用Eqn。(11)计算$A, \mu, v$得到
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} e^{-[1 / 2}(x-m)^2 / \sigma^{2]}
$$
这表明，在所有具有给定均值$m$和给定方差$\sigma^2$的分布中，正态分布$N\left(m, \sigma^2\right)$具有最大的熵。
均值和方差是最简单的矩，这些矩有规定值的最大熵分布是正态分布。这就说明了正态分布的重要性。
(b)我们现在想要找到在所有给出算术和几何均值的分布中具有最大熵的$[0, \infty)$区间上的分布。
这里我们要最大化
$$
-\int_0^{\infty} f(x) \ln f(x) d x
$$
以
$$
\int_0^{\infty} f(x) d x=1, \int_0^{\infty} x f(x) d x=m, \int_0^{\infty} \ln x f(x) d x=\ln g
$$
利用拉格朗日方法和方程。我们得到
$$
f(x)=A e^{-a x} x^{\gamma-1}
$$
A, $a, \gamma$由Eqn确定。因此，在所有具有算术和几何平均数的分布中，伽马分布具有最大的熵。
(c)我们想要找到当$x, y$从$-\infty$变化到$\infty$以及当均值、方差和协方差是规定的时候的最大熵双变量分布。
我们必须最大化
$$
-\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \ln f(x, y) d x d y
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
