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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Legendrian knots
In the following definitions we make a little more hullabaloo than is strictly necessary for introducing the classical invariants of Legendrian knots. These definitions, however, will come into prominence in our discussion of surgery on contact 3 -manifolds.
Definition 3.5.1 Let $K$ be a Legendrian knot in a 3-manifold $M$ with cooriented contact structure $\xi$. Since $T_p K \subset \xi_p$ for all $p \in K$, the normal bundle $N K=\left(\left.T M\right|_K\right) / T K$ of $K$ in $M$ splits into a Whitney sum of trivial line bundles
$$
N K \cong\left(\left.T M\right|_K\right) /\left(\left.\xi\right|_K\right) \oplus\left(\left.\xi\right|_K\right) / T K
$$
The contact framing of $K$ is the trivialisation of $N K$ defined by this splitting.
This is a rather roundabout way of expressing something geometrically very simple. In order to define a framing of $K$, we need to specify a parallel curve to $K$, which we take as a longitude on the boundary of a tubular neighbourhood of $K$. The contact framing is the one corresponding to the parallel curve we get by pushing $K$ in a direction transverse to $\xi$. In the formal definition above, this would correspond to choosing a section of the factor $\left(\left.T M\right|_K\right) /\left(\left.\xi\right|_K\right)$. Alternatively, we may take as longitude a parallel curve obtained by pushing $K$ in a direction tangent to $\xi$ but transverse to $K$. This would correspond to choosing a section of $\left(\left.\xi\right|_K\right) / T K$, and yields the same overall trivialisation of $N K$.
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Transverse knots
Now let $K$ be a homologically trivial transverse knot in a contact 3 -manifold $(M, \xi)$, with $M$ oriented such that $\xi$ is a positive contact structure. Let $\Sigma$ be a Seifert surface for $K$. As in the definition of the rotation number, we make use of the fact that the plane field $\left.\xi\right|{\Sigma}$ is trivial. Choose a non-vanishing section $X$ of $\left.\xi\right|{\Sigma}$ and push $K$ in the direction of $X$ to obtain a parallel copy $K^{\prime}$ of $K$. Choose any orientation for $K$, and give $K^{\prime}$ the corresponding orientation. The following definition will not depend on this choice.
Definition 3.5.28 The self-linking number $\operatorname{sl}(K, \Sigma)$ of the transverse knot $K$ relative to the Seifert surface $\Sigma$ is the linking number of $K$ and $K^{\prime}$.
Remarks 3.5.29 (1) A transverse knot can be regarded as a 1-dimensional contact submanifold in the sense of Definition 2.1.14, see Remark 2.1.15. So the invariance of $\operatorname{sl}(K, \Sigma)$ under isotopies within the class of transverse knots follows from the isotopy extension theorem for contact submanifolds (Thm. 2.6.12).
(2) The fact that $\operatorname{sl}(K, \Sigma)$ is independent of the choice of $X$ (the nonvanishing section of $\left.\xi\right|_{\Sigma}$ ) follows by the argument used in the proof of Lemma 3.5.14. The dependence on the choice of $\Sigma$ will be discussed presently. In contrast with the notation for rotation numbers, we do not write $\operatorname{sl}(K, c)$, with $c \in H_2(M, K)$ the class represented by $\Sigma$, because this would force us to fix (compatible) orientations of $\Sigma$ and $K$.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Legendrian knots
在下面的定义中，我们做了一些比引入经典Legendrian节不变量所严格需要的更多的喧嚣。然而，这些定义将在我们讨论接触式3流形的手术时变得突出。
3.5.1设$K$为具有共向接触结构$\xi$的3流形$M$中的Legendrian结。因为$T_p K \subset \xi_p$对于所有$p \in K$, $M$中$K$的正常束$N K=\left(\left.T M\right|_K\right) / T K$分裂成平凡线束的惠特尼和
$$
N K \cong\left(\left.T M\right|_K\right) /\left(\left.\xi\right|_K\right) \oplus\left(\left.\xi\right|_K\right) / T K
$$
$K$的接触框架是由这种分裂定义的$N K$的琐碎化。
这是用一种迂回的方式来表达几何上非常简单的东西。为了定义$K$的框架，我们需要指定一条与$K$平行的曲线，我们将其作为$K$的管状邻域边界上的经度。接触框架是对应于平行曲线的一个，我们通过在$\xi$的横向方向上推动$K$得到。在上面的正式定义中，这将对应于选择因子$\left(\left.T M\right|_K\right) /\left(\left.\xi\right|_K\right)$的一部分。或者，我们可以把$K$在与$\xi$相切但与$K$横向的方向上推动得到的平行曲线作为经度。这将对应于选择$\left(\left.\xi\right|_K\right) / T K$的一部分，并产生相同的$N K$的整体简化。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Transverse knots
现在设$K$为接触3流形$(M, \xi)$中的一个同源平凡的横向结，其中$M$定向使得$\xi$是一个正接触结构。设$\Sigma$为$K$的塞弗特曲面。在旋转数的定义中，我们利用了平面场$\left.\xi\right|{\Sigma}$是平凡的这个事实。选择$\left.\xi\right|{\Sigma}$的一个不消失的部分$X$，并将$K$向$X$的方向推送，以获得$K$的平行副本$K^{\prime}$。为$K$选择任意方向，并给$K^{\prime}$相应的方向。下面的定义将不依赖于这个选择。
3.5.28横向结$K$相对于塞弗特曲面$\Sigma$的自连接数$\operatorname{sl}(K, \Sigma)$为$K$和$K^{\prime}$的连接数。
3.5.29(1)横结可视为定义2.1.14意义上的一维接触子流形，见备注2.1.15。因此，在横向节类内的同位素下$\operatorname{sl}(K, \Sigma)$的不变性由接触子流形的同位素扩展定理(Thm. 2.6.12)得出。
(2) $\operatorname{sl}(K, \Sigma)$与$X$ ($\left.\xi\right|_{\Sigma}$的非消失部分)的选择无关的事实是引理3.5.14证明中使用的论证。目前将讨论对$\Sigma$选择的依赖。与旋转数的表示法相反，我们不写$\operatorname{sl}(K, c)$，用$\Sigma$表示的类$c \in H_2(M, K)$，因为这将迫使我们修复(兼容的)$\Sigma$和$K$的方向。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
