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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Math6170

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Examples of Antitone Galois Connections

Example (Indiscretion): Let $(X, \leq),(Y, \leq)$ be partially ordered sets with top elements $T_X, T_Y$. Define $\Phi: X \rightarrow Y, x \mapsto T_Y$ and $\Psi: Y \rightarrow X, y \mapsto T_X$. Then $(X, Y, \Phi, \Psi)$ is a Galois connection. The induced closure operators are “indiscrete”: they send every element of $X$ (resp. $Y$ ) to the top element $T_X$ (resp. $T_Y$ ).

Example (Perfection): Let $(X, \leq)$ and $(Y, \leq)$ be anti-isomorphic partially ordered sets, i.e., suppose that there exists a bijection $\Phi: X \rightarrow Y$ with $x_1 \leq x_2 \Longleftrightarrow$ $\Phi\left(x_2\right) \leq \Phi\left(x_1\right)$. Then the inverse map $\Psi: Y \rightarrow X$ satisfies $y_1 \leq y_2 \Longleftrightarrow \Psi\left(y_2\right) \leq$ $\Psi\left(y_1\right)$. Moreover, for $x \in X, y \in Y, x \leq \Psi(y) \Longleftrightarrow y=\Psi(\Phi(y)) \leq \Phi(x)$, so $(X, Y, \Phi, \Psi)$ is a Galois connection. Then $\bar{X}=X$ and $\bar{Y}=Y$. As we saw above, the converse also holds: if $\bar{X}=X$ and $\bar{Y}=Y$ then $\Phi$ and $\Psi$ are mutually inverse bijections. Such a Galois connection is called perfect. ${ }^1$

The remaining examples of this section make use of some important ring-theoretic concepts which will be treated in detail later.

Example: Let $R$ be a commutative ring. Let $X$ be the set of all ideals of $R$ and $Y=2^{\operatorname{Spec} R}$ the power set of the set of prime ideals of $R$. For $I \in X$, put
$$
\Phi(I)=V(I)={\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} R \mid I \subset \mathfrak{p}} .
$$
For $V \in Y$, put
$$
\Psi(V)=\bigcap_{\mathfrak{p} \in V} \mathfrak{p} .
$$
The maps $\Phi$ and $\Psi$ are antitone, and for $I \in \mathcal{X}, V \in \mathcal{Y}$,
$$
I \subset \Psi(V) \Longleftrightarrow I \subset \bigcap_{\mathfrak{p} \in V} \mathfrak{p} \Longleftrightarrow \forall \mathfrak{p} \in V, I \subset \mathfrak{p} \Longleftrightarrow V \subset \Phi(I),
$$
so $(\Phi, \Psi)$ is a Galois connection. Then $\bar{X}$ consists of all ideals which can be written as the intersection of a family of prime ideals. For all $I \in X$,
$$
\bar{I}=\bigcap_{\mathfrak{p} \supset I} \mathfrak{p}=\operatorname{rad} I=\left{x \in R \mid \exists n \in \mathbb{Z}^{+} x^n \in I\right} ;
$$
that is, the induced closure operation on $X$ takes any ideal to its radical $r(I)$. In particular $\bar{X}$ consists precisely of the radical ideals.

It is not so easy to describe the closure operator on $Y$ or even the subset $\bar{Y}$ explicitly, but there is still something nice to say. Since:
$$
\begin{gathered}
V((0))=\operatorname{Spec} R, V(R)=\varnothing, \
V\left(I_1\right) \cup V\left(I_2\right)=V\left(I_1 I_2\right), \
\bigcap_{\alpha \in A} V\left(I_\alpha\right)=V\left(\sum_{\alpha \in A} I_\alpha\right),
\end{gathered}
$$
the elements of $\bar{Y}$ are the closed subsets for a topology, the Zariski topology.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Antitone Galois Connections Decorticated: Relations

Example: Let $S$ and $T$ be sets, and let $R \subset S \times T$ be a relation between $S$ and $T$. As is traditional, we use the notation $x R y$ for $(x, y) \in R$. For $A \subset S$ and $y \in T$, we let us write $A R y$ if $x R y$ for all $x \in A$; and dually, for $x \in S$ and $B \subset T$, let us write $x R B$ if $x R y$ for all $y \in B$. Finally, for $A \subset S, B \subset T$, let us write $A R B$ if $x R y$ for all $x \in A$ and all $y \in B$.
Let $X=\left(2^S, \subset\right), Y=\left(2^T, \subset\right)$. For $A \subset S$ and $B \subset T$, we put
$$
\begin{aligned}
& \Phi_R(A)={y \in T \mid A R y}, \
& \Psi_R(B)={x \in S \mid x R B} .
\end{aligned}
$$
We claim that $\mathcal{G}_R=\left(X, Y, \Phi_R, \Psi_R\right)$ is a Galois connection. Indeed, it is immediate that $\Phi_R$ and $\Psi_R$ are both antitone maps; moreover, for all $A \subset S, B \subset T$ we have
$$
A \subset \Psi_R(B) \Longleftrightarrow A R B \Longleftrightarrow B \subset \Phi_R(A) .
$$
Remarkably, this example includes most of the Galois connections above. Indeed:

In Example 2.2, take $X$ to be $2^K$ and $Y=2^{\operatorname{Aut}(K / F)}$. The induced Galois connection is the one associated to the relation $g x=x$ on $K \times \operatorname{Aut}(K / F)$.
In Example 2.5, take $X$ to be $2^R$. The induced Galois connection is the one associated to the relation $x \in \mathfrak{p}$ on $R \times \operatorname{Spec} R$. Similarly for Examples 2.7 and 2.8.
The Galois connection of Example 2.8 is the one associated to the relation $x \in P$ on $K \times \operatorname{RSpec} K$.
The Galois connection of Example 2.9 is the one associated to the relation $X \models \varphi$.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Examples of Antitone Galois Connections

示例(轻率):设$(X, \leq),(Y, \leq)$为部分有序集合，顶部元素为$T_X, T_Y$。定义$\Phi: X \rightarrow Y, x \mapsto T_Y$和$\Psi: Y \rightarrow X, y \mapsto T_X$。那么$(X, Y, \Phi, \Psi)$就是伽罗瓦连接。诱导闭包操作符是“不离散的”:它们发送$X$的每个元素(参见。$Y$)到顶部元素$T_X$(参见。$T_Y$)。

例(完备性):设$(X, \leq)$和$(Y, \leq)$是反同构的部分有序集合，即，假设存在与$x_1 \leq x_2 \Longleftrightarrow$$\Phi\left(x_2\right) \leq \Phi\left(x_1\right)$的双射$\Phi: X \rightarrow Y$。那么逆映射$\Psi: Y \rightarrow X$满足$y_1 \leq y_2 \Longleftrightarrow \Psi\left(y_2\right) \leq$$\Psi\left(y_1\right)$。此外，对于$x \in X, y \in Y, x \leq \Psi(y) \Longleftrightarrow y=\Psi(\Phi(y)) \leq \Phi(x)$, $(X, Y, \Phi, \Psi)$是伽罗瓦连接。然后是$\bar{X}=X$和$\bar{Y}=Y$。如上所述，反之也成立:如果$\bar{X}=X$和$\bar{Y}=Y$，则$\Phi$和$\Psi$互为逆双射。这样的伽罗瓦关系被称为完美的。 ${ }^1$

本节的其余示例使用了一些重要的环理论概念，这些概念将在后面详细讨论。

例:设$R$为可交换环。设$X$为$R$的所有理想集，$Y=2^{\operatorname{Spec} R}$为$R$的素理想集的幂集。对于$I \in X$，请输入
$$
\Phi(I)=V(I)={\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} R \mid I \subset \mathfrak{p}} .
$$
对于$V \in Y$，请输入
$$
\Psi(V)=\bigcap_{\mathfrak{p} \in V} \mathfrak{p} .
$$
地图$\Phi$和$\Psi$是相反的，对于$I \in \mathcal{X}, V \in \mathcal{Y}$，
$$
I \subset \Psi(V) \Longleftrightarrow I \subset \bigcap_{\mathfrak{p} \in V} \mathfrak{p} \Longleftrightarrow \forall \mathfrak{p} \in V, I \subset \mathfrak{p} \Longleftrightarrow V \subset \Phi(I),
$$
所以$(\Phi, \Psi)$是伽罗瓦连接。那么$\bar{X}$包含了所有可以写成一组素数理想的交集的理想。对于所有$I \in X$，
$$
\bar{I}=\bigcap_{\mathfrak{p} \supset I} \mathfrak{p}=\operatorname{rad} I=\left{x \in R \mid \exists n \in \mathbb{Z}^{+} x^n \in I\right} ;
$$
也就是说，$X$上的诱导闭包操作将任何理想带到了它的根$r(I)$。特别是$\bar{X}$正是由激进的理想组成的。

要显式地描述$Y$或甚至子集$\bar{Y}$上的闭包操作符并不容易，但仍然有一些值得说的东西。自:
$$
\begin{gathered}
V((0))=\operatorname{Spec} R, V(R)=\varnothing, \
V\left(I_1\right) \cup V\left(I_2\right)=V\left(I_1 I_2\right), \
\bigcap_{\alpha \in A} V\left(I_\alpha\right)=V\left(\sum_{\alpha \in A} I_\alpha\right),
\end{gathered}
$$
$\bar{Y}$的元素是拓扑的封闭子集，即Zariski拓扑。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Antitone Galois Connections Decorticated: Relations

例子:让 $S$ 和 $T$ 是集合，让 $R \subset S \times T$ 成为…之间的关系 $S$ 和 $T$．按照传统，我们使用符号 $x R y$ 为了 $(x, y) \in R$．因为 $A \subset S$ 和 $y \in T$，我们让我们写 $A R y$ 如果 $x R y$ 对所有人 $x \in A$;对 $x \in S$ 和 $B \subset T$，让我们写 $x R B$ 如果 $x R y$ 对所有人 $y \in B$．最后，对于 $A \subset S, B \subset T$，让我们写 $A R B$ 如果 $x R y$ 对所有人 $x \in A$ 等等 $y \in B$．
让 $X=\left(2^S, \subset\right), Y=\left(2^T, \subset\right)$．因为 $A \subset S$ 和 $B \subset T$，我们把
$$
\begin{aligned}
& \Phi_R(A)={y \in T \mid A R y}, \
& \Psi_R(B)={x \in S \mid x R B} .
\end{aligned}
$$
我们声称 $\mathcal{G}_R=\left(X, Y, \Phi_R, \Psi_R\right)$ 是伽罗瓦关系。事实上，这是直接的 $\Phi_R$ 和 $\Psi_R$ 都是反调图;此外，对所有人来说 $A \subset S, B \subset T$ 我们有
$$
A \subset \Psi_R(B) \Longleftrightarrow A R B \Longleftrightarrow B \subset \Phi_R(A) .
$$
值得注意的是，这个例子包含了上面的大部分伽罗瓦连接。确实如此:

在例2.2中，取$X$为$2^K$和$Y=2^{\operatorname{Aut}(K / F)}$。诱导伽罗瓦连接是与$K \times \operatorname{Aut}(K / F)$上的关系$g x=x$相关的连接。

在例2.5中，取$X$为$2^R$。诱导伽罗瓦连接是与$R \times \operatorname{Spec} R$上的关系$x \in \mathfrak{p}$相关的连接。例2.7和2.8类似。

例2.8中的伽罗瓦连接是与$K \times \operatorname{RSpec} K$上的关系$x \in P$相关联的。

例2.9中的伽罗瓦连接与关系$X \models \varphi$相关联。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。