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交换代数Commutative Algebra代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了交换环的一个重要类别。与模运算相关的考虑导致了估值环的概念。代数域扩展对子域的限制导致了积分扩展和积分闭域的概念以及估值环扩展的分支的概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Bezout Rings
A ring $\mathbf{A}$ is called a Bezout ring when every finitely generated ideal is principal. This is the same as saying that every ideal with two generators is principal.
$$
\forall a, b \exists u, v, g, a_1, b_1 \quad\left(a u+b v=g, a=g a_1, b=g b_1\right) .
$$
A Bezout ring is strongly discrete if and only if the divisibility relation is explicit. An integral Bezout ring is called a Bezout domain.
A local ring is a ring $\mathbf{A}$ where is satisfied the following axiom
$$
\forall x, y \in \mathbf{A} \quad x+y \in \mathbf{A}^{\times} \Longrightarrow\left(x \in \mathbf{A}^{\times} \text {or } y \in \mathbf{A}^{\times}\right) .
$$
This is the same as asking
$$
\forall x \in \mathbf{A} \quad x \in \mathbf{A}^{\times} \text {or } 1-x \in \mathbf{A}^{\times} .
$$
Note that according to this definition the trivial ring is local. Moreover, the “or” must be understood in the constructive sense: the alternative must be explicit. Most of the local rings with which we usually work in classical mathematics actually satisfy the previous definition if we look at it from a constructive point of view.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finitely Presented Modules over Valuation Rings
A matrix $B=\left(b_{i, j}\right) \in \mathbf{A}^{m \times n}$ is said to be in Smith form if every coefficient out of the principal diagonal is null, and if for $1 \leqslant i<\inf (m, n)$, the diagonal coefficient $b_{i, i}$ divides the following $b_{i+1, i+1}$.
7.2 Proposition Let $\mathbf{A}$ be a local Bezout ring.
- Every matrix of $\mathbf{A}^{m \times n}$ is elementarily equivalent to a matrix in Smith form.
- Every finitely presented $\mathbf{A}$-module $M$ is isomorphic to a direct sum of modules $\mathbf{A} /\left\langle a_i\right\rangle: M \simeq \bigoplus_{i=1}^p \mathbf{A} /\left\langle a_i\right\rangle$, with in addition, for each $i<p, a_{i+1}$ divides $a_i$.
D 1. We use the Gauss pivot method by choosing for first pivot a coefficient of the matrix which divides all the others. We finish by induction. - Direct consequence of item 1 .
Remark This result is completed by the uniqueness theorem (Theorem 5.1) as follows. - In the reduced matrix in Smith form the ideals $\left\langle b_{i, i}\right\rangle$ are uniquely determined.
- In the decomposition $\bigoplus_{i=1}^p \mathbf{A} /\left\langle a_i\right\rangle$, the ideals $\left\langle a_i\right\rangle$ are uniquely determined, except that ideals in excessive numbers can be equal to $\langle 1\rangle$ : we can delete the corresponding terms, but this only happens without fail when we have an invertibility test in the ring.
A ring $\mathbf{A}$ is called a strict Bezout ring when every vector $[u v] \in \mathbf{A}^2$ can be transformed into a vector $[h 0$ ] by multiplication by a $2 \times 2$ invertible matrix.
Now we give an example of how the elementary local-global machinery no. 1 (described on p. 199) is used.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Bezout Rings
当每个有限生成的理想都是主理想时，一个环$\mathbf{A}$被称为Bezout环。这就等于说，每一个有两个产生子的理想都是主要的。
$$
\forall a, b \exists u, v, g, a_1, b_1 \quad\left(a u+b v=g, a=g a_1, b=g b_1\right) .
$$
当且仅当可除关系是显式的，Bezout环是强离散的。一个完整的Bezout环称为Bezout域。
局部环是满足以下公理的环$\mathbf{A}$
$$
\forall x, y \in \mathbf{A} \quad x+y \in \mathbf{A}^{\times} \Longrightarrow\left(x \in \mathbf{A}^{\times} \text {or } y \in \mathbf{A}^{\times}\right) .
$$
这和问是一样的
$$
\forall x \in \mathbf{A} \quad x \in \mathbf{A}^{\times} \text {or } 1-x \in \mathbf{A}^{\times} .
$$
注意，根据这个定义，平凡环是局部的。此外，必须从建设性的意义上理解“或”:选择必须是明确的。如果我们从构造的角度来看，我们通常在经典数学中使用的大多数局部环实际上都满足前面的定义。
交换代数在估值环上有限呈现的模块
如果主对角线外的每个系数都为零，则称矩阵$B=\left(b_{i, j}\right) \in \mathbf{A}^{m \times n}$为史密斯形式，如果对于$1 \leqslant i<\inf (m, n)$，则对角线系数$b_{i, i}$除以下面的$b_{i+1, i+1}$。
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finitely Presented Modules over Valuation Rings
$\mathbf{A}^{m \times n}$的每个矩阵基本等价于史密斯形式的矩阵。
每个有限表示的$\mathbf{A}$ -模块$M$都同构于模块$\mathbf{A} /\left\langle a_i\right\rangle: M \simeq \bigoplus_{i=1}^p \mathbf{A} /\left\langle a_i\right\rangle$的直接和，另外，对于每个$i<p, a_{i+1}$除$a_i$。
解析:选D。我们使用高斯主元法，选择矩阵的一个系数作为第一个主元，这个系数除以所有其他的矩阵。我们用归纳法来完成。
第一项的直接结果。
这个结果由唯一性定理(定理5.1)完成，如下所示。
在史密斯形式的约简矩阵中，理想$\left\langle b_{i, i}\right\rangle$是唯一确定的。
在分解$\bigoplus_{i=1}^p \mathbf{A} /\left\langle a_i\right\rangle$中，理想$\left\langle a_i\right\rangle$是唯一确定的，除了理想在过多时可以等于$\langle 1\rangle$:我们可以删除相应的项，但这只有在环中有可逆性检验时才会发生。
当每个向量$[u v] \in \mathbf{A}^2$都可以通过乘以一个$2 \times 2$可逆矩阵转化为一个向量$[h 0$]时，一个环$\mathbf{A}$被称为严格Bezout环。
现在我们给出一个基本局部全局机制的例子。1(见第199页)被使用。
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