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数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Norm of a Prime Ideal
We begin by showing that each prime ideal in the ring of integers of an algebraic number field is associated with a unique rational prime.
Theorem 10.1.1 Let $K$ be an algebraic number field. Let $P$ be a prime ideal of $O_K$. Then there exists a unique rational prime $p$ such that
$$
P \mid\langle p\rangle .
$$
Proof: As $P$ is a prime ideal in $O_K, P \cap \mathbb{Z}$ is a prime ideal in $\mathbb{Z}$ (Theorem 1.6.2). Hence, by Theorems 1.4 .1 and 1.5.4, we have
$$
P \cap \mathbb{Z}=\langle p\rangle
$$
for some rational prime $p$. Thus
$$
P \supseteq\langle p\rangle
$$
and so by Theorem 8.4 .1 we have
$$
P \mid\langle p\rangle .
$$
Suppose $q$ is another rational prime such that
$$
P \mid\langle q\rangle .
$$
Then $P \supseteq\langle p\rangle$ and $P \supseteq\langle q\rangle$ so that
$$
P \supseteq\langle p, q\rangle .
$$
As $p$ and $q$ are distinct primes we have $\operatorname{gcd}(p, q)=1$ so that there are integers $a$ and $b$ such that $a p+b q=1$. Hence $1 \in\langle p, q\rangle \subseteq P$. Thus $O_K \subseteq P$, which is impossible.
Hence the prime $p$ is uniquely determined by $P \mid\langle p\rangle$.
数学代写|数论代写Number Theory代考|Factoring Primes in a Quadratic Field
Let $p$ be a rational prime and let $K$ be a quadratic field. By Theorem 10.1 .4 we have
$$
g=g_K(p) \leq 2
$$
so that
$$
g=1 \text { or } 2 .
$$
If $g=2$ by Theorem 10.1 .3 we have
$$
e_1 f_1+e_2 f_2=2
$$
so that
$$
e_1=f_1=e_2=f_2=1 .
$$
If $g=1$ we have
$$
e_1 f_1=2
$$
so that
$$
\left(e_1, f_1\right)=(2,1) \text { or }(1,2) .
$$
Thus in the case of a quadratic field there are just three possibilities:
(i) $g=2, e_1=f_1=e_2=f_2=1$,
(ii) $g=1, e_1=2, f_1=1$,
(iii) $g=1, e_1=1, f_1=2$.
In other words,
(i) $\langle p\rangle=P_1 P_2, N\left(P_1\right)=N\left(P_2\right)=p, P_1 \neq P_2$,
(ii) $\langle p\rangle=P^2, N(P)=p$,
(iii) $\langle p\rangle=P, N(P)=p^2$,
where $P_1, P_2, P$ denote prime ideals of $O_K$. In case (i) we say that $p$ splits in $K$, in case (ii) that $p$ ramifies in $K$, and in case (iii) that $p$ is inert (or remains prime) in $K$. In cases (i) and (iii) $p$ is unramified in $K$.
Our next theorem gives necessary and sufficient conditions for each of (i), (ii), (iii) to occur. As usual $\left(\frac{m}{p}\right)$ denotes the Legendre symbol of the integer $m$ modulo the odd prime $p$.
数论代写
数学代写|数论代写Number Theory代考|Norm of a Prime Ideal
我们首先证明代数数域的整数环上的每一个素数理想都与一个唯一的有理数相关联。
定理10.1.1设$K$为一个代数数域。让$P$成为$O_K$的首要理想。那么存在一个唯一的有理素数$p$，使得
$$
P \mid\langle p\rangle .
$$
证明:因为$P$在$O_K, P \cap \mathbb{Z}$中是素理想，在$\mathbb{Z}$中也是素理想(定理1.6.2)。因此，根据定理1.4、1.1和1.5.4，我们有
$$
P \cap \mathbb{Z}=\langle p\rangle
$$
对于某个有理数$p$。因此
$$
P \supseteq\langle p\rangle
$$
根据定理8.4，我们有
$$
P \mid\langle p\rangle .
$$
假设$q$是另一个有理数
$$
P \mid\langle q\rangle .
$$
然后是$P \supseteq\langle p\rangle$和$P \supseteq\langle q\rangle$
$$
P \supseteq\langle p, q\rangle .
$$
因为$p$和$q$是不同的质数我们有$\operatorname{gcd}(p, q)=1$所以有整数$a$和$b$所以$a p+b q=1$。因此，$1 \in\langle p, q\rangle \subseteq P$。因此$O_K \subseteq P$，这是不可能的。
因此质数$p$是唯一由$P \mid\langle p\rangle$决定的。
数学代写|数论代写Number Theory代考|Factoring Primes in a Quadratic Field
设$p$为有理数，$K$为二次域。根据定理10.1 .4，我们有
$$
g=g_K(p) \leq 2
$$
如此……以至于……
$$
g=1 \text { or } 2 .
$$
如果$g=2$根据定理10.1。3，我们有
$$
e_1 f_1+e_2 f_2=2
$$
如此……以至于……
$$
e_1=f_1=e_2=f_2=1 .
$$
如果$g=1$我们有
$$
e_1 f_1=2
$$
如此……以至于……
$$
\left(e_1, f_1\right)=(2,1) \text { or }(1,2) .
$$
因此，在二次域的情况下，只有三种可能性:
(i) $g=2, e_1=f_1=e_2=f_2=1$;
(ii) $g=1, e_1=2, f_1=1$;
(iii) $g=1, e_1=1, f_1=2$。
换句话说，
(i) $\langle p\rangle=P_1 P_2, N\left(P_1\right)=N\left(P_2\right)=p, P_1 \neq P_2$;
(ii) $\langle p\rangle=P^2, N(P)=p$;
(iii) $\langle p\rangle=P, N(P)=p^2$;
其中$P_1, P_2, P$表示$O_K$的基本理想。在情况(i)中，我们说$p$在$K$中分裂，在情况(ii)中，$p$在$K$中分裂，在情况(iii)中，$p$在$K$中是惰性的(或保持素数)。在第(i)和(iii)种情况下，$p$在$K$中没有歧义。
下一个定理给出了(i)， (ii)， (iii)中每一个发生的充分必要条件。通常$\left(\frac{m}{p}\right)$表示整数$m$对奇素数$p$取模的勒让德符号。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
