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拓扑学Topology作为一个活跃的研究领域，已基本完成。作为一种通用的数学语言，它的长期使用已经完善了它的定义和定理体系。如今，研究一般拓扑的确更像是学习一门语言，而不是学习数学:人们必须学习许多新单词，而大多数定理的证明却极其简单。但是定理的数量是巨大的。这并不奇怪，因为它们扮演着规范词汇使用的规则角色。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|On the classification of tight contact structures
We are now going to use Theorem 4.9 .4 for classifying the tight contact structures on $S^3, \mathbb{R}^3$, and $S^2 \times S^1$. The standard contact structure on $S^3$ and $\mathbb{R}^3$, respectively, has been described previously. By the standard contact structure on $S^2 \times S^1 \subset \mathbb{R}^3 \times S^1$ – with $\theta$ denoting the $S^1$-coordinate and $(x, y, z)$ Cartesian coordinates on $\mathbb{R}^3$ – we mean the contact structure given by
$$
z d \theta+x d y-y d x=0 .
$$
We shall write $\xi_{\text {st }}$ for each of these contact structures if the manifold in question is clear from the context. It will be shown in Corollary 6.5.10 that each of these $\xi_{\mathrm{st}}$ is tight. The following theorem says that these are the unique tight contact structures on the respective spaces. It is understood that we fix an orientation on each of these spaces and consider only cooriented positive contact structures.
Theorem 4.10.1 (a) Each of the manifolds $S^3, \mathbb{R}^3$ and $S^2 \times S^1$ admits a unique tight contact structure up to isotopy.
(b) Any two tight contact structures on the 3-ball $D^3$ that induce the same characteristic foliation on the boundary are isotopic rel boundary.
Proof $\left(\right.$ a $-S^2 \times S^1$ ) The vector field $\partial_\theta$ on $S^2 \times S^1$ is a contact vector field for the standard contact structure $\xi_{\text {st. }}$. So the 2-sphere $S^2 \equiv S^2 \times{0}$, where we think of $S^1$ as $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$, is a convex surface with respect to $\xi_{\text {st. }}$. Its characteristic foliation is given by the vector field
$$
x z \partial_x+y z \partial_y-\left(x^2+y^2\right) \partial_z,
$$
with elliptic points at the poles and each flow line a meridian. The dividing set is the equator ${z=0}$. The same is true for any other 2-sphere $S^2 \times{\theta}$.
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Proof of Cerf ’s theorem
In this section we are going to prove Cerf’s theorem $\Gamma_4=0$, i.e. the result that every diffeomorphism of $S^3$ extends to a diffeomorphism of the 4-ball; see Section 1.7.1, where I gave an outline of the idea of the proof.
Lemma 4.11.1 Any orientation-preserving diffeomorphism $f$ of $S^3$ is isotopic to a diffeomorphism $g$ preserving the standard contact structure $\xi_{\text {st. }}$.
Proof The contact structure $T f\left(\xi_{\text {st }}\right)$ is positive and tight, and thus isotopic to $\xi_{\mathrm{st}}$ by Theorem 4.10.3. Let $\psi_t, t \in[0,1]$, be an isotopy with $\psi_0=\mathrm{id}{S^3}$ and $T \psi_1\left(T f\left(\xi{\mathrm{st}}\right)\right)=\xi_{\mathrm{st}}$. Then $\psi_t \circ f, t \in[0,1]$, is the desired isotopy to a contactomorphism $g:=\psi_1 \circ f$ of $\left(S^3, \xi_{\mathrm{st}}\right)$.
Cerf’s theorem is then a consequence of the following statement from Eliashberg’s paper [69].
Proposition 4.11.2 Any contactomorphism $g$ of $\left(S^3, \xi_{\mathrm{st}}\right)$ extends to a diffeomorphism of $D^4$.
The construction of such an extension is based on the technique of filling by holomorphic discs. The details of that technique are beyond the scope of this text, but here are some of the elementary aspects of it. To simplify notation, we shall write $\xi$ instead of $\xi_{\text {st }}$ in the sequel.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|On the classification of tight contact structures
现在我们将使用定理4.9对$S^3, \mathbb{R}^3$和$S^2 \times S^1$上的紧密接触结构进行分类。前面已经分别描述了$S^3$和$\mathbb{R}^3$上的标准接触结构。通过$S^2 \times S^1 \subset \mathbb{R}^3 \times S^1$上的标准接触结构($\theta$表示$\mathbb{R}^3$上的$S^1$坐标和$(x, y, z)$笛卡尔坐标)，我们指的是由
$$
z d \theta+x d y-y d x=0 .
$$
如果所讨论的歧管从上下文中看清楚，我们将为每个接触结构写$\xi_{\text {st }}$。将在推论6.5.10中显示，这些$\xi_{\mathrm{st}}$中的每一个都是紧密的。下面的定理表明，它们是各自空间上唯一的紧接触结构。可以理解的是，我们在每个空间上固定了一个方向，并且只考虑共取向的正接触结构。
定理4.10.1 (a)每个歧管$S^3, \mathbb{R}^3$和$S^2 \times S^1$都具有独特的紧密接触结构，直至同位素。
(b) 3球$D^3$上任何两个紧密接触结构在边界上引起相同的特征叶理，即为同位素边界。
证明$\left(\right.$ a $-S^2 \times S^1$) $S^2 \times S^1$上的向量场$\partial_\theta$是标准接触结构$\xi_{\text {st. }}$的接触向量场。所以二维球面$S^2 \equiv S^2 \times{0}$，我们把$S^1$看作$\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$，是一个关于$\xi_{\text {st. }}$的凸面。它的叶状特征由向量场给出
$$
x z \partial_x+y z \partial_y-\left(x^2+y^2\right) \partial_z,
$$
以椭圆点为极点，每条流线为子午线。划分集是赤道${z=0}$。对于其他2球$S^2 \times{\theta}$也是一样的。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Proof of Cerf ’s theorem
在本节中，我们将证明Cerf定理$\Gamma_4=0$，即$S^3$的每一个微同态延伸到4球的一个微同态的结果;参见第1.7.1节，在那里我给出了证明思想的大纲。
引理4.11.1 $S^3$的任何保持取向的微分同构$f$都是保持标准接触结构$\xi_{\text {st. }}$的微分同构$g$的同位素。
接触结构$T f\left(\xi_{\text {st }}\right)$为正紧结构，根据4.10.3定理与$\xi_{\mathrm{st}}$同位素。让$\psi_t, t \in[0,1]$与$\psi_0=\mathrm{id}{S^3}$和$T \psi_1\left(T f\left(\xi{\mathrm{st}}\right)\right)=\xi_{\mathrm{st}}$成为一个同位素。然后$\psi_t \circ f, t \in[0,1]$，是期望的同位素到一个接触形态$g:=\psi_1 \circ f$的$\left(S^3, \xi_{\mathrm{st}}\right)$。
因此，Cerf定理是Eliashberg的论文[69]中下列陈述的结果。
命题4.11.2 $\left(S^3, \xi_{\mathrm{st}}\right)$的任何接触同形$g$延伸到$D^4$的一个差同形。
这种扩展的构造是基于全纯圆盘填充技术。该技术的细节超出了本文的范围，但这里是它的一些基本方面。为了简化符号，我们将在后续中写成$\xi$而不是$\xi_{\text {st }}$。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
