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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MAT4200

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Basic equivalences

Although we will have no use for them in the sequel of these notes, in both commutative and (especially) homological algebra there is an important class of modules “dual” to the projective modules. They are characterized as follows.

Proposition 3.19. For a module $E$ over a ring $R$, the following are equivalent: (ii) If $\iota: M \rightarrow N$ is an injective $R$-module homomorphism and $\varphi: M \rightarrow E$ is any homomorphism, there exists at least one extension of $\varphi$ to a homomorphism $\Phi: N \rightarrow E$.
(iii) If $M \hookrightarrow N$, the natural map $\operatorname{Hom}(N, E) \rightarrow \operatorname{Hom}(M, E)$ is surjective.
(iv) The (contravariant) functor $\operatorname{Hom}(, E)$ is exact.
(v) Any short exact sequence of R-modules
$$
0 \rightarrow E \stackrel{\iota}{\rightarrow} M \rightarrow N \rightarrow 0
$$

splits: there exists an $R$-module map $\pi: M \rightarrow E$ such that $\pi \circ \iota=1_E$ and thus an internal direct sum decomposition $M=\iota(E) \oplus \operatorname{ker}(\pi) \cong E \oplus N$. A module satisfying these equivalent conditions is called injective.
EXERCISE 3.33. Prove Proposition 3.19.
EXERCISE 3.34. Show: an $R$-module $E$ is injective iff whenever $E$ is a submodule of a module $M, E$ is a direct summand of $M$.

Notice that the set of equivalent conditions starts with (ii)! This is to facilitate direct comparison to Proposition 3.10 on projective modules. Indeed, one should check that each of the properties (ii) through (v) are duals of the corresponding properties for projective modules: i.e., they are obtained by reversing all arrows. The difficulty here with property (i) is that if one literally reverses the arrows in the definition of free $R$-module to arrive at a “cofree” $R$-module, one gets a definition which is unhelpfully strong: the “cofree $R$-module on a set $X$ ” does not exist when $# X>1$ ! This can be remedied by giving a more refined definition of cofree module. For the sake of curiosity, we will give it later on in the exercises, but to the best of my knowledge, cofree $R$-modules by any definition do not play the fundamental role that free $R$-modules do.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Baer’s Criterion

ThEorem 3.20. (Baer’s Criterion $[\mathbf{B a 4 0}]$ ) For a module $E$ over a ring $R$, the following are equivalent:
(i) $E$ is injective.
(ii) For every ideal nonzero $I$ of $R$, every $R$-module map $\varphi: I \rightarrow E$ extends to an $R$-module map $\Phi: R \rightarrow E$.

Proof. (i) $\Longrightarrow$ (ii): this is a special case of condition (ii) of Proposition 3.19: take $M=I, N=R$.
(ii) $\Longrightarrow$ (i): Let $M$ be an $R$-submodule of $N$ and $\varphi: M \rightarrow E$ an $R$-module map. We need to show that $\varphi$ may be extended to $N$. Now the set $\mathcal{P}$ of pairs $\left(N^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)$ with $M \subset N^{\prime} \subset N$ and $\varphi: N^{\prime} \rightarrow E$ a map extending $\varphi$ is nonempty and has an evident partial ordering, with respect to which the union of any chain of elements in $\mathcal{P}$ is again an element of $\mathcal{P}$. So by Zorn’s Lemma, there is a maximal element $\varphi^{\prime}: N^{\prime} \rightarrow E$. Our task is to show that $N^{\prime}=N$.
Assume not, and choose $x \in N \backslash N^{\prime}$. Put
$$
I=\left(N^{\prime}: x\right)=\left{r \in R \mid r x \subset N^{\prime}\right}
$$

one checks immediately that $I$ is an ideal of $R$ (a generalization to modules of the colon ideal we have encountered before). Consider the composite map
$$
I \stackrel{\cdot x}{\rightarrow} N^{\prime} \stackrel{\varphi}{\rightarrow} E ;
$$
by our hypothesis, this extends to a map $\psi: R \rightarrow E$. Now put $N^{\prime \prime}=\left\langle N^{\prime}, x\right\rangle$ and define $^4 \varphi^{\prime \prime}: N^{\prime \prime} \rightarrow E$ by
$$
\varphi^{\prime \prime}\left(x^{\prime}+r x\right)=\varphi^{\prime}\left(x^{\prime}\right)+\psi(r) .
$$
Thus $\varphi^{\prime \prime}$ is an extension of $\varphi^{\prime}$ to a strictly larger submodule of $N$ than $N^{\prime}$, contradicting maximality.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Basic equivalences

虽然我们在这些笔记的后续中不会用到它们，但在交换代数和(特别是)同调代数中都有一类重要的模“对偶”到射影模。它们的特点如下。

提案3.19对于环$R$上的模块$E$，以下是等价的:(ii)如果$\iota: M \rightarrow N$是一个单射$R$ -模块同态且$\varphi: M \rightarrow E$是任意同态，则存在至少一个$\varphi$到同态$\Phi: N \rightarrow E$的扩展。
(iii)如果$M \hookrightarrow N$，则自然图$\operatorname{Hom}(N, E) \rightarrow \operatorname{Hom}(M, E)$是满射的。
(iv)逆变函子$\operatorname{Hom}(, E)$是精确的。
(v) r模的任何短的精确序列
$$
0 \rightarrow E \stackrel{\iota}{\rightarrow} M \rightarrow N \rightarrow 0
$$

分裂:存在一个 $R$-模块映射 $\pi: M \rightarrow E$ 这样 $\pi \circ \iota=1_E$ 这就是内部直接和分解 $M=\iota(E) \oplus \operatorname{ker}(\pi) \cong E \oplus N$．满足这些等价条件的模称为内射模。
练习3.33。证明命题3.19。
练习3.34。展示: $R$-模块 $E$ 无论何时都是单射的吗 $E$ 是模块的子模块吗 $M, E$ 是直接求和吗 $M$．

注意等效条件的集合从(ii)开始!这是为了便于与关于投影模块的提案3.10进行直接比较。实际上，我们应该检查(ii)到(v)的每个性质都是投影模的相应性质的对偶:即，它们是通过反转所有箭头得到的。属性(i)的困难在于，如果将free $R$ -module定义中的箭头颠倒过来以得到一个“cofree”$R$ -模块，那么得到的定义是无用的:“集合$X$上的cofree $R$ -模块”在$# X>1$ !这可以通过给出一个更精确的共模定义来弥补。出于好奇，我们将在后面的练习中给出它，但据我所知，cofree $R$ -模块无论如何定义都不像free $R$ -模块那样发挥基本作用。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Baer’s Criterion

定理3.20。(贝尔准则$[\mathbf{B a 4 0}]$)对于环$R$上的模块$E$，以下是等价的:
(i) $E$是单射的。
(ii)对于$R$的每个理想非零$I$，每个$R$ -module映射$\varphi: I \rightarrow E$扩展为$R$ -module映射$\Phi: R \rightarrow E$。

证明。(i) $\Longrightarrow$ (ii):这是命题3.19的条件(ii)的一个特例:取 $M=I, N=R$．
(ii) $\Longrightarrow$ (1):让 $M$ 做一个 $R$的子模块 $N$ 和 $\varphi: M \rightarrow E$ 一个 $R$-module map。我们需要证明这一点 $\varphi$ 可扩展至 $N$．现在是集合 $\mathcal{P}$ 成对的 $\left(N^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)$ 有 $M \subset N^{\prime} \subset N$ 和 $\varphi: N^{\prime} \rightarrow E$ 地图扩展 $\varphi$ 是非空的，并且有明显的偏序，对于其中的任何元素链的并集 $\mathcal{P}$ 又是的元素吗 $\mathcal{P}$．根据佐恩引理，存在一个极大元素 $\varphi^{\prime}: N^{\prime} \rightarrow E$．我们的任务就是证明这一点 $N^{\prime}=N$．
不要假设，要选择 $x \in N \backslash N^{\prime}$．放
$$
I=\left(N^{\prime}: x\right)=\left{r \in R \mid r x \subset N^{\prime}\right}
$$

可以立即检查$I$是否为$R$的理想值(我们之前遇到过的冒号理想值模块的泛化)。考虑复合映射
$$
I \stackrel{\cdot x}{\rightarrow} N^{\prime} \stackrel{\varphi}{\rightarrow} E ;
$$
根据我们的假设，这延伸到地图$\psi: R \rightarrow E$。现在放入$N^{\prime \prime}=\left\langle N^{\prime}, x\right\rangle$并定义$^4 \varphi^{\prime \prime}: N^{\prime \prime} \rightarrow E$ by
$$
\varphi^{\prime \prime}\left(x^{\prime}+r x\right)=\varphi^{\prime}\left(x^{\prime}\right)+\psi(r) .
$$
因此，$\varphi^{\prime \prime}$是$\varphi^{\prime}$的扩展，是$N$的一个比$N^{\prime}$大得多的子模块，这与最大值相矛盾。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。