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数学代写|图论代写Graph Theory代写|Spanning Trees of a Graph
A subgraph $G^{\prime}$ of a graph $G$ is a spanning subgraph of $G$ if $G^{\prime}$ contains all vertices of $G$. A spanning subgraph $T$ of a graph $G$ is a spanning tree of $G$ if $T$ is a tree. In Fig. 4.4 the edges of a spanning tree of a graph is drawn by thick lines. The following claim holds.
Lemma 4.4.1 Every connected graph contains a spanning tree.
Proof Let $G$ be a connected graph. If $G$ has no cycle, then $G$ itself a spanning tree of $G$. We thus assume that $G$ has cycles. We delete edges from cycles one by one until the resulting graph $G^{\prime}$ is acyclic. Since no edge on a cycle is a cut edge by Lemma 3.1.4, $G^{\prime}$ is connected. Hence, $G^{\prime}$ is a desired spanning tree $T$ of $G$.
Based on the proof of Lemma 4.4.1, one can develop an algorithm for finding a spanning tree of a connected graph as follows: Check whether the graph has a cycle or not. If the graph has a cycle, delete an edge from the cycle and repeat the process until the resulting graph is acyclic.
We now prove the following lemma.
Lemma 4.4.2 Let $G=(V, E)$ be a connected graph and let $S \subseteq E$ such that $G-S$ is disconnected. Then every spanning tree of $G$ has an edge in $S$.
Proof Let $T$ be a spanning tree of $G$. Assume for a contradiction that $T$ does not contain any edge in $S$. Then $G-S$ would not be disconnected since $T$ contains all vertices of $G$.
A graph may have many spanning trees. Counting spanning trees is an essential step in many methods for computing, bounding, and approximating network reliability; in a network modeled by a graph, intercommunication between all nodes of the network implies that the graph must contain a spanning tree and thus, maximizing the number of spanning trees is a way of maximizing reliability [1]. We denote by $\tau(G)$ the number of spanning trees of a connected graph $G$. Recall that we denote by $G-e$ the graph obtained from a graph $G$ by deleting its edge $e$, and by $G \backslash e$ the graph obtained from $G$ by contracting its edge $e$. These two graph operations play crucial role in counting the number of a spanning trees of a graph, as shown in the following lemma.
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Counting of Trees
To deal with counting of graphs we need to be familiar with the definitions of “labeled graphs” and “unlabeled graphs,” which are informally introduced in Sections 2.2.2 and 2.5.5. A graph is called a labeled graph if each vertex of the graph is assigned an element from a set of symbols, so that the vertices can be distinguished one from another. A graph which has no such labeling is called an unlabeled graph. The two graphs in Figs. 4.7(a) and (b) are labeled graphs and the graph in Fig.4.7(c) is an unlabeled graph. Note that the two graphs Figs. 4.7(a) and (b) are different labeled graphs although they are the same unlabeled graph as in Fig. 4.7(c).
There is exactly one tree with a single vertex. The number of trees with two vertices is also one. The number of labeled trees with three vertices is three although there is exactly one unlabeled tree of three vertices. With four vertices 16 labeled trees can be constructed. In this section, we present Cayley’s theorem [3] on number of labeled trees.
Theorem 4.5.1 There are $n^{n-2}$ distinct labeled trees of $n$ vertices.
Proof The idea is to establish a one-to-one correspondence between the set of labeled trees of $n$ vertices and the set of sequences $\left(a_1, a_2, \ldots, a_{n-2}\right)$, where each $a_i$ is an integer satisfying $1 \leq a_i \leq n$. Since there are precisely $n^{n-2}$ such sequences, the result follows immediately.
We assume $n \geq 3$, since the result is trivial if $n=1$ or 2 .
Let $T$ be a labeled tree of $n$ vertices. We can obtain a unique sequence $\left(x_1, x_2, \ldots, x_{n-2}\right)$ from tree $T$ as follows. Let $y_1$ be the smallest label among the labels assigned to all leaf vertices, and let $x_1$ be the label of the vertex adjacent to $y_1$. We delete the vertex $y_1$. Clearly $T^{\prime}=T-y_1$ is a tree of $n-1$ vertices. Let $y_2$ be the leaf vertex in $T^{\prime}$ with the smallest label and let $x_2$ be the neighbor of $y_2$. We delete $y_2$. We continue the process until there are only two vertices left and we obtain the sequence $\left(x_1, x_2, \ldots, x_{n-2}\right)$. An illustrative example for step by step construction of the sequence from a tree is given in Fig. 4.8, where the edge $\left(y_i, x_i\right)$ is drawn by dotted line in each step.
图论代写
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Spanning Trees of a Graph
如果$G^{\prime}$包含$G$的所有顶点，则图形$G$的子图$G^{\prime}$是$G$的生成子图。如果$T$是树，那么图形$G$的生成子图$T$就是$G$的生成树。在图4.4中，生成树的边是用粗线绘制的。下面的说法成立。
引理4.4.1每个连通图都包含一个生成树。
设$G$为连通图。如果$G$没有循环，那么$G$本身就是$G$的生成树。因此，我们假设$G$有循环。我们一个接一个地从循环中删除边，直到得到的图$G^{\prime}$是无循环的。由于根据引理3.1.4，循环上没有一条边是切边，因此$G^{\prime}$是连通的。因此，$G^{\prime}$是$G$的生成树$T$。
根据引理4.4.1的证明，我们可以开发一种寻找连通图生成树的算法，方法如下:检查图是否有循环。如果图有一个循环，从循环中删除一条边，然后重复这个过程，直到得到的图是无循环的。
我们现在证明下面的引理。
引理4.4.2设$G=(V, E)$是连通图，设$S \subseteq E$使得$G-S$是不连通的。那么$G$的每个生成树都在$S$有一条边。
证明设$T$是$G$的生成树。假设一个矛盾$T$在$S$中不包含任何边。那么$G-S$就不会被断开，因为$T$包含了$G$的所有顶点。
一个图可以有许多生成树。对生成树进行计数是计算、边界和逼近网络可靠性的许多方法中必不可少的步骤;在以图为模型的网络中，网络所有节点之间的相互通信意味着该图必须包含一棵生成树，因此，最大化生成树的数量是一种最大化可靠性的方法[1]。我们用$\tau(G)$表示连通图$G$的生成树的个数。回想一下，我们用$G-e$表示通过删除边$e$从图$G$获得的图，用$G \backslash e$表示通过收缩边$e$从$G$获得的图。这两种图操作在计算图的生成树数量时起着至关重要的作用，如下面的引理所示。
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Counting of Trees
为了处理图的计数，我们需要熟悉“标记图”和“未标记图”的定义，它们将在第2.2.2节和2.5.5节非正式地介绍。如果图的每个顶点都从一组符号中分配了一个元素，则图被称为标记图，以便可以将顶点彼此区分开来。没有标记的图称为无标记图。图4.7(a)和(b)中的两个图为带标记图，图4.7(c)中的图为未标记图。请注意，图4.7(a)和(b)这两个图与图4.7(c)是相同的未标记图，但它们是不同的标记图。
只有一棵树只有一个顶点。有两个顶点的树的数目也是1。标记的三个顶点的树的数量是3，尽管只有一个未标记的三个顶点的树。用四个顶点可以构造16个标记树。在本节中，我们给出了关于标记树数目的Cayley定理[3]。
定理4.5.1存在$n$顶点的$n^{n-2}$不同标记树。
其思想是在一组标记树的$n$顶点和一组序列$\left(a_1, a_2, \ldots, a_{n-2}\right)$之间建立一对一的对应关系，其中每个$a_i$是一个满足$1 \leq a_i \leq n$的整数。由于确实存在$n^{n-2}$这样的序列，因此结果立即出现。
我们假设是$n \geq 3$，因为如果$n=1$或2，结果是微不足道的。
设$T$是一个有$n$个顶点的标记树。我们可以得到一个唯一的序列$\left(x_1, x_2, \ldots, x_{n-2}\right)$从树$T$如下。设$y_1$为分配给所有叶顶点的标签中最小的标签，设$x_1$为$y_1$相邻顶点的标签。我们删除顶点$y_1$。显然$T^{\prime}=T-y_1$是一个有$n-1$个顶点的树。设$y_2$为$T^{\prime}$中标签最小的叶顶点，设$x_2$为$y_2$的邻居。我们删除$y_2$。我们继续这个过程，直到只剩下两个顶点，我们得到序列$\left(x_1, x_2, \ldots, x_{n-2}\right)$。图4.8给出了从树逐步构建序列的示例，其中每一步用虚线绘制边缘$\left(y_i, x_i\right)$。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
