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物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|What does spin $\frac{1}{2}$ mean?
To understand spin- $-\frac{1}{2}$ particles, let us begin by looking at what happens when we rotate them by an angle $\theta$ in the $z$ plane. For any representation, such a rotation is given by
$$
\Lambda\left(\theta_z\right)=\exp \left(i \theta_z J_z\right),
$$
with $J_z$ the generator in an appropriate representation. The easiest way to exponentiate a matrix is to first diagonalize it with a unitary transformation, then exponentiate the eigenvalues, then transform back. This unitary transformation is like choosing a (possibly complex) direction. If we are only ever rotating around one axis, we can simply use the diagonal basis for the exponentiation.
First, for the vector representation,
$$
J_3=V_{12}=i\left(\begin{array}{cccc}
0 & & & \
& 0 & -1 & \
& 1 & 0 & \
& & & 0
\end{array}\right)=U^{-1}\left(\begin{array}{cccc}
0 & & & \
& -1 & & \
& & 1 & \
& & & 0
\end{array}\right) U .
$$
Note that the eigenvalues of $J_3$ are $-1,0,1$ and 0 , which is what one expects from the $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ representation of the Lorentz group describing spins 1 and 0 , as in Table 10.1. So,
$$
\Lambda_V\left(\theta_z\right)=\exp \left(i \theta_z V_{12}\right)=U^{-1}\left(\begin{array}{cccc}
1 & & & \
& \exp \left(-i \theta_z\right) & & \
& & \exp \left(i \theta_z\right) & \
& & & 1
\end{array}\right) U
$$
and
$$
\Lambda_V(2 \pi)=\mathbb{1} .
$$
That is, we rotate 360 degrees and we are back to where we started.
For the spinor representation
$$
\Lambda_s\left(\theta_z\right)=\exp \left(i \theta_z S_{12}\right)
$$
the 12 rotation is already diagonal:
$$
S_{12}=\left(\begin{array}{llll}
\frac{1}{2} & & & \
& -\frac{1}{2} & & \
& & \frac{1}{2} & \
& & & -\frac{1}{2}
\end{array}\right) .
$$
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Projective representations
How can something go back to minus itself under a $2 \pi$ rotation? This is not something that can happen in the Lorentz group. By definition, all representations of the Lorentz group map $2 \pi$ rotations to the identity element of the group: $r[2 \pi]=1$. And, by definition, the identity group element sends objects to themselves. The problem is that by exponentiating elements of the Lie algebra for the group we generated a different group, $\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$, which is the universal cover of the Lorentz group, not the Lorentz group itself. So, technically, spinors transform as representations of $\operatorname{SL}(2, \mathbb{C})$. Why is this OK?
Recall that the Lorentz group is defined as the group preserving the Minkowski metric $\Lambda^T g \Lambda=g$. Observables, in particular the $S$-matrix, should be invariant under this symmetry. In quantum mechanics, we learned that states are identified with rays, so that $|\psi\rangle$ and $\lambda|\psi\rangle$ for any complex number $\lambda$ are the same state. In field theory, we have carefully normalized our fields (and we will carefully renormalize them), so we do not want that norm to change in different frames. However, we can still have the fields change by a phase without upsetting their norms. Thus, for physical purposes what we are looking for is not exactly representations of the Lorentz group, but projective representations of the Lorentz group, in which group elements can change the phase of a state. Projective representations can have
$$
r\left[g_1\right] r\left[g_2\right]=e^{i \phi\left(g_1, g_2\right)} r\left[g_1 g_2\right],
$$
which is a generalization of the normal requirement that $r\left[g_1 g_2\right]=r\left[g_1\right] r\left[g_2\right]$ for a group representation. The projective representations of $\mathrm{O}(1,3)$ are the same as the representations of $\operatorname{SL}(2, \mathbb{C})$, which include the spinors.
Using objects that have properties that are not directly observable is not new. For example, in quantum mechanics we learned that wavefunctions are complex. There are plenty of implications of the complexity, but you do not actually measure complex things. In the same way, although we only measure Lorentz-invariant things (matrix elements), the most general theory can have objects, spinors, that are a little bit more complicated than the Lorentz group alone would naively suggest. Although spinors transform in representations of $\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$, the Poincaré group is still the symmetry group of observables.
The existence of objects, spinors, that transform as $\psi \rightarrow-\psi$ under $\theta=2 \pi$ rotations is closely related to an interesting fact about the $3 \mathrm{D}$ rotation group that you might not be aware of: it is not simply connected. In a group that is not simply connected, there are closed paths through the group that are not contractible, that is, they cannot be smoothly deformed to a point. For example, the group $\mathrm{SO}(2)$ of $2 \mathrm{D}$ rotations is specified by angles $\theta$. Let us describe our path by a number $t$, with $0 \leq t<1$. Then the path $\theta(t)=2 \pi t$ is not smoothly deformable to $\theta(t)=0$. That means there is not a smooth function $\theta(t, u)$ for $0 \leq$ $u \leq 1$, so that $\theta(t, 0)=\theta(t)$ and $\theta(t, 1)=0$. In fact, none of the paths $\theta(t)=2 \pi n t$ for an integer $n$ can be deformed into each other. We say the fundamental group for $\mathrm{SO}(2)$ is $\mathbb{Z}$.
The group $\mathrm{SO}(3)$ is not simply connected either. To see that, define rotations around the $z$ axis by an angle $\theta_z$, and consider the path $\theta_z(t)=2 \pi t$ corresponding to the group elements
$$
R(t)=\left(\begin{array}{ccc}
\cos 2 \pi t & \sin 2 \pi t & 0 \
-\sin 2 \pi t & \cos 2 \pi t & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$
量子场论代考
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|What does spin $\frac{1}{2}$ mean?
为了理解自旋$-\frac{1}{2}$粒子，让我们先看看当我们在$z$平面上以$\theta$角度旋转它们时会发生什么。对于任何表示，这样的旋转由
$$
\Lambda\left(\theta_z\right)=\exp \left(i \theta_z J_z\right),
$$
使用$J_z$将生成器转换为适当的表示形式。对矩阵求幂最简单的方法是首先用一个酉变换对角化它，然后对特征值求幂，然后再变换回来。这个酉变换就像选择一个(可能是复的)方向。如果我们只绕一个轴旋转，我们可以简单地用对角基求幂。
首先，对于向量表示，
$$
J_3=V_{12}=i\left(\begin{array}{cccc}
0 & & & \
& 0 & -1 & \
& 1 & 0 & \
& & & 0
\end{array}\right)=U^{-1}\left(\begin{array}{cccc}
0 & & & \
& -1 & & \
& & 1 & \
& & & 0
\end{array}\right) U .
$$
注意$J_3$的特征值是$-1,0,1$和0，这是人们从描述自旋1和0的洛伦兹群的$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$表示中所期望的，如表10.1所示。所以，
$$
\Lambda_V\left(\theta_z\right)=\exp \left(i \theta_z V_{12}\right)=U^{-1}\left(\begin{array}{cccc}
1 & & & \
& \exp \left(-i \theta_z\right) & & \
& & \exp \left(i \theta_z\right) & \
& & & 1
\end{array}\right) U
$$
和
$$
\Lambda_V(2 \pi)=\mathbb{1} .
$$
也就是说，我们旋转360度，我们回到了开始的地方。
对于旋量表示
$$
\Lambda_s\left(\theta_z\right)=\exp \left(i \theta_z S_{12}\right)
$$
12的旋转已经是对角线了:
$$
S_{12}=\left(\begin{array}{llll}
\frac{1}{2} & & & \
& -\frac{1}{2} & & \
& & \frac{1}{2} & \
& & & -\frac{1}{2}
\end{array}\right) .
$$
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Projective representations
一个物体如何在$2 \pi$旋转下回到负自身呢?这在洛伦兹群中是不可能发生的。根据定义，洛伦兹群的所有表示都映射$2 \pi$旋转到群的单位元素:$r[2 \pi]=1$。并且，根据定义，identity group元素向自己发送对象。问题是通过对这个群的李代数的元素取幂我们得到了一个不同的群，$\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$，它是洛伦兹群的普遍覆盖，而不是洛伦兹群本身。所以，从技术上讲，旋量转换为$\operatorname{SL}(2, \mathbb{C})$的表示。为什么这样可以?
回想一下，洛伦兹群被定义为保持闵可夫斯基度规$\Lambda^T g \Lambda=g$的群。可观测值，特别是$S$ -矩阵，在这种对称性下应该是不变的。在量子力学中，我们知道状态是由射线确定的，所以$|\psi\rangle$和$\lambda|\psi\rangle$对于任何复数$\lambda$都是相同的状态。在场论中，我们仔细地规范了我们的场(我们将仔细地重新规范它们)，所以我们不希望这个规范在不同的框架中改变。然而，我们仍然可以让字段在不破坏其规范的情况下改变一个阶段。因此，出于物理目的，我们寻找的不是洛伦兹群的精确表示，而是洛伦兹群的投影表示，其中群元素可以改变状态的相位。投影表示可以有
$$
r\left[g_1\right] r\left[g_2\right]=e^{i \phi\left(g_1, g_2\right)} r\left[g_1 g_2\right],
$$
这是对群表示的正常要求$r\left[g_1 g_2\right]=r\left[g_1\right] r\left[g_2\right]$的概括。$\mathrm{O}(1,3)$的投影表示与$\operatorname{SL}(2, \mathbb{C})$的表示相同，其中包括旋量。
使用具有非直接可观察属性的对象并不是什么新鲜事。例如，在量子力学中我们学过波函数是复杂的。有很多复杂性的含义，但你并不实际测量复杂的东西。同样地，虽然我们只测量洛伦兹不变的东西(矩阵元素)，但最一般的理论可以有物体，旋量，它们比洛伦兹群简单地认为的要复杂一点。虽然旋量在$\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$的表示中变换，但庞卡洛群仍然是可观测的对称群。
在$\theta=2 \pi$旋转下转换为$\psi \rightarrow-\psi$的对象(旋量)的存在与一个关于$3 \mathrm{D}$旋转群的有趣事实密切相关，这个事实您可能没有意识到:它不是单连通的。在非单连通的群中，存在通过群的闭合路径，这些路径是不可收缩的，即它们不能平滑地变形为一个点。例如，$2 \mathrm{D}$旋转组$\mathrm{SO}(2)$由角度$\theta$指定。让我们用一个数字$t$和$0 \leq t<1$来描述我们的路径。那么路径$\theta(t)=2 \pi t$就不能平滑地变形为$\theta(t)=0$。这意味着对于$0 \leq$$u \leq 1$没有一个平滑的函数$\theta(t, u)$，所以$\theta(t, 0)=\theta(t)$和$\theta(t, 1)=0$。事实上，对于整数$n$，所有路径$\theta(t)=2 \pi n t$都不能相互变形。我们说$\mathrm{SO}(2)$的基本组是$\mathbb{Z}$。
$\mathrm{SO}(3)$组也不是简单的连接。要查看这一点，定义围绕$z$轴的旋转角度$\theta_z$，并考虑与组元素对应的路径$\theta_z(t)=2 \pi t$
$$
R(t)=\left(\begin{array}{ccc}
\cos 2 \pi t & \sin 2 \pi t & 0 \
-\sin 2 \pi t & \cos 2 \pi t & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
