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组合学Combinatorics在应用方面，从物理学家到生物学家的科学家都发现组合学在他们的研究中至关重要。在所有这一切中，计算机科学和数学之间的相互作用作为理论发展和组合学应用的主要推动力而脱颖而出。本文介绍了这种相互作用的数学基础及其一些结果。
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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Definition of Descents
DEFINITION 1.1 Let $p=p_1 p_2 \cdots p_n$ be a permutation, and let $ip_{i+1}$. Similarly, we say that $i$ is an ascent of $p$ if $p_i<p_{i+1}$.
Example 1.2
Let $p=3412576$. Then 2 and 6 are descents of $p$, while $1,3,4$, and 5 are ascents of $p$.
Note that the descents denote the positions within $p$, and not the entries of $p$. The set of all descents of $p$ is called the descent set of $p$ and is denoted by $D(p)$. The cardinality of $D(p)$, that is, the number of descents of $p$, is denoted by $d(p)$, though certain authors prefer $\operatorname{des}(p)$.
This very natural notion of descents raises some obvious questions for the enumerative combinatorialist. How many $n$-permutations are there with a given number of descents? How many $n$-permutations are there with a given descent set? If two $n$-permutations have the same descent set, or the same number of descents, what other properties do they share?
The answers to these questions are not always easy, but are always interesting. We would like to start with the problem of finding the number of permutations with a given descent set $S$. However, it turns out that it is even easier to find the number of permutations whose descent set is contained in $S$, so we start with that result.
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Eulerian Numbers
Let $A(n, k)$ be the number of $n$-permutations with $k-1$ descents. You may be wondering what the reason for this shift in the parameter $k$ is. If $p$ has $k-1$ descents, then $p$ is the union of $k$ increasing subsequences of consecutive entries. These are called the ascending runs of $p$. (Some authors call them just “runs,” others call something else “runs.” This is why we add the adjective “ascending” to avoid confusion.) Also note that in some papers, $A(n, k)$ is used to denote the number of permutations with $k$ descents.
Example 1.5
The three ascending runs of $p=2415367$ are 24,15 , and 367 .
Example 1.6
There are four permutations of length three with one descent, namely 132,213 , 231 , and 312. Therefore, $A(3,2)=4$. Similarly, $A(3,3)=1$ corresponding to the permutation 321 , and $A(3,1)=1$, corresponding to the permutation 123 .
Thus the permutations with $k$ ascending runs are the same as permutations with $k-1$ descents, providing one answer for the notation $A(n, k)$. We note that some authors use the notation $\left\langle\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right\rangle$ for $A(n, k)$.
The numbers $A(n, k)$ are called the Eulerian numbers, and have several beautiful properties. Several authors provided extensive reviews of this field, including Leonard Carlitz [110], Dominique Foata and Marcel-Paul Schützenberger [172], Donald E. Knuth [230], and Charalambos Charalambides [109]. The most recent, and most comprehensive, coverage of the subject is the book [261] by T. Kyle Petersen. In our treatment of the Eulerian numbers, we will make an effort to be as combinatorial as possible, and avoid the analytic methods that probably represent a majority of the available literature. We start by proving a simple recurrence relation.
组合学代写
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Definition of Descents
定义1.1设$p=p_1 p_2 \cdots p_n$为一个排列，设$ip_{i+1}$。同样，我们说$i$是$p$的上升，如果$p_i<p_{i+1}$。
例1.2
让$p=3412576$。2和6是$p$的下降点，$1,3,4$和5是$p$的上升点。
注意，下降表示$p$中的位置，而不是$p$的条目。$p$的所有下降集称为$p$的下降集，用$D(p)$表示。$D(p)$的基数，即$p$的后代数，用$d(p)$表示，尽管某些作者更喜欢$\operatorname{des}(p)$。
这种非常自然的下降概念给列举组合主义者提出了一些明显的问题。在给定的下降次数下，有多少$n$ -排列?一个给定的下降集有多少个$n$ -排列?如果两个$n$ -排列有相同的下降集，或者相同的下降数，它们还有什么共同的属性?
这些问题的答案并不总是容易的，但总是有趣的。我们想从找到给定下降集$S$的排列个数的问题开始。然而，事实证明，找到下降集包含在$S$中的排列的数量更容易，所以我们从这个结果开始。
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Eulerian Numbers
设$A(n, k)$为具有$k-1$血统的$n$ -排列的个数。您可能想知道参数$k$发生这种变化的原因是什么。如果$p$有$k-1$下降，那么$p$是连续条目的$k$递增子序列的并集。这些被称为$p$的升序运行。(有些作者称之为“跑步”，另一些人称之为“跑步”。这就是为什么我们要加上形容词“升的”来避免混淆。)还要注意，在一些论文中，$A(n, k)$用于表示具有$k$下降的排列的数量。
例1.5
$p=2415367$的三个升序运行分别是24、15和367。
例1.6
长度为3的排列有四种，即132,213,231和312。因此，$A(3,2)=4$。类似地，$A(3,3)=1$对应于排列321,$A(3,1)=1$对应于排列123。
因此，$k$上升运行的排列与$k-1$下降运行的排列相同，为符号$A(n, k)$提供了一个答案。我们注意到一些作者使用$\left\langle\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right\rangle$表示$A(n, k)$。
这些数字$A(n, k)$被称为欧拉数，有几个漂亮的性质。几位作者对这一领域进行了广泛的回顾，包括Leonard Carlitz[110]、Dominique Foata和Marcel-Paul sch岑伯格[172]、Donald E. Knuth[230]和Charalambos Charalambides[109]。关于这一主题的最新、最全面的报道是T.凯尔·彼得森(T. Kyle Petersen)的著作[261]。在我们对欧拉数的处理中，我们将尽可能地组合，并避免可能代表大多数可用文献的分析方法。我们从证明一个简单的递归关系开始。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
