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数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|The Number of Subsets
Now that we have introduced the notion of subsets, we can formulate our first general combinatorial problem: What is the number of all subsets of a set with $n$ elements?
We start with trying out small numbers. It makes no difference what the elements of the set are; we call them $a, b, c$ etc. The empty set has only one subset (namely, itself). A set with a single element, say ${a}$, has two subsets: the set ${a}$ itself and the empty set $\emptyset$. A set with two elements, say ${a, b}$, has four subsets: $\emptyset,{a},{b}$, and ${a, b}$. It takes a little more effort to list all the subsets of a set ${a, b, c}$ with 3 elements:
$$
\emptyset,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{a, c},{a, b, c} .
$$
We can make a little table from these data:
\begin{tabular}{|c|l|l|l|l|}
\hline Number of elements & 0 & 1 & 2 & 3 \
\hline Number of subsets & 1 & 2 & 4 & 8 \
\hline
\end{tabular}
Looking at these values, we observe that the number of subsets is a power of 2: If the set has $n$ elements, the result is $2^n$, at least on these small examples.
It is not difficult to see that this is always the answer. Suppose you have to select a subset of a set $A$ with $n$ elements; let us call these elements $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Then we may or may not want to include $a_1$, in other words, we can make two possible decisions at this point. No matter how we decided about $a_1$, we may or may not want to include $a_2$ in the subset; this means two possible decisions, and so the number of ways we can decide about $a_1$ and $a_2$ is $2 \cdot 2=4$. Now no matter how we decide about $a_1$ and $a_2$, we have to decide about $a_3$, and we can again decide in two ways. Each of these ways can be combined with each of the 4 decisions we could have made about $a_1$ and $a_2$, which makes $4 \cdot 2=8$ possibilities to decide about $a_1, a_2$ and $a_3$.
We can go on similarly: No matter how we decide about the first $k$ elements, we have two possible decisions about the next, and so the number of possibilities doubles whenever we take a new element. For deciding about all the $n$ elements of the set, we have $2^n$ possibilities.
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|The Approximate Number of Subsets
So, we know that the number of subsets of a 100 -element set is $2^{100}$. This is a large number, but how large? It would be good to know, at least, how many digits it will have in the usual decimal form. Using computers, it would not be too hard to find the decimal form of this number $\left(2^{100}=\right.$ 1267650600228229401496703205376 ), but suppose we have no computers at hand. Can we at least estimate the order of magnitude of it?
We know that $2^3=8<10$, and hence (raising both sides of this inequality to the 33 rd power) $2^{99}<10^{33}$. Therefore, $2^{100}<2 \cdot 10^{33}$. Now $2 \cdot 10^{33}$ is a 2 followed by 33 zeros; it has 34 digits, and therefore $2^{100}$ has at most 34 digits.
We also know that $2^{10}=1024>1000=10^3$; these two numbers are quite close to each other ${ }^2$. Hence $2^{100}>10^{30}$, which means that $2^{100}$ has at least 31 digits.
This gives us a reasonably good idea of the size of $2^{100}$. With a little more high-school math, we can get the number of digits exactly. What does it mean that a number has exactly $k$ digits? It means that it is between $10^{k-1}$ and $10^k$ (the lower bound is allowed, the upper is not). We want to find the value of $k$ for which
$$
10^{k-1} \leq 2^{100}<10^k .
$$
Now we can write $2^{100}$ in the form $10^x$, only $x$ will not be an integer: the appropriate value of $x$ is $x=\lg 2^{100}=100 \lg 2$ (we use $\lg$ to denote logarithm with base 10). We have then
$$
k-1 \leq x<k,
$$
which means that $k-1$ is the largest integer not exceeding $x$. Mathematicians have a name for this: It is the integer part, or floor, of $x$, and it is denoted by $\lfloor x\rfloor$. We can also say that we obtain $k$ by rounding $x$ down to the next integer. There is also a name for the number obtained by rounding $x$ up to the next integer: It is called the ceiling of $x$, and denoted by $\lceil x\rceil$.
离散数学代写
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|The Number of Subsets
现在我们已经介绍了子集的概念，我们可以表述第一个一般组合问题:含有$n$元素的集合的所有子集的个数是多少?
我们从小的数开始。集合的元素是什么没有区别;我们称之为$a, b, c$等。空集只有一个子集(即它本身)。一个包含单个元素的集合，例如${a}$，有两个子集:集合${a}$本身和空集合$\emptyset$。一个包含两个元素的集合，例如${a, b}$，有四个子集:$\emptyset,{a},{b}$和${a, b}$。列出具有3个元素的集合${a, b, c}$的所有子集需要更多的努力:
$$
\emptyset,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{a, c},{a, b, c} .
$$
我们可以用这些数据做一个小表格:
\begin{tabular}{|c|l|l|l|l|}
\hline Number of elements & 0 & 1 & 2 & 3 \hline Number of subsets & 1 & 2 & 4 & 8 \hline
\end{tabular}
查看这些值，我们观察到子集的数量是2的幂:如果集合有$n$个元素，那么结果是$2^n$，至少在这些小示例中是这样。
不难看出，这总是正确的答案。假设您必须选择包含$n$元素的集合$A$的一个子集;我们称这些元素为$a_1, a_2, \ldots, a_n$。那么我们可能想要也可能不想要包含$a_1$，换句话说，我们现在可以做出两种可能的决定。无论我们如何决定$a_1$，我们都可能希望或不希望将$a_2$包含在子集中;这意味着两种可能的选择，所以我们可以决定$a_1$和$a_2$的方法的数量是$2 \cdot 2=4$。现在无论我们如何决定$a_1$和$a_2$，我们都必须决定$a_3$，我们可以用两种方式来决定。这些方法中的每一种都可以与我们可能做出的关于$a_1$和$a_2$的4个决定中的每一个相结合，这使得$4 \cdot 2=8$有可能决定$a_1, a_2$和$a_3$。
我们可以类似地继续:无论我们如何决定第一个$k$元素，对于下一个元素我们都有两种可能的决定，因此每当我们取一个新元素时，可能性的数量就会翻倍。为了确定集合中所有的$n$个元素，我们有$2^n$种可能性。
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|The Approximate Number of Subsets
我们知道100个元素的集合的子集的个数是$2^{100}$。这是一个很大的数字，但有多大呢?最好至少知道，在通常的十进制形式中有多少位。使用计算机，找到这个数字的十进制形式($\left(2^{100}=\right.$ 1267650600228229401496703205376)并不难，但假设我们手边没有计算机。我们能至少估计一下它的数量级吗?
我们知道$2^3=8<10$，因此(不等式两边同时取33次方)$2^{99}<10^{33}$。因此，$2^{100}<2 \cdot 10^{33}$。$2 \cdot 10^{33}$是2后面跟着33个0;它有34位数字，因此$2^{100}$最多有34位数字。
我们还知道$2^{10}=1024>1000=10^3$;这两个数字非常接近${ }^2$。因此是$2^{100}>10^{30}$，这意味着$2^{100}$至少有31位数字。
这让我们对$2^{100}$的大小有了一个相当好的了解。再多一点高中数学知识，我们就能准确地得到数字的个数。一个数字恰好有$k$位是什么意思?这意味着它介于$10^{k-1}$和$10^k$之间(允许下限，不允许上限)。我们想求出$k$的值
$$
10^{k-1} \leq 2^{100}<10^k .
$$
现在我们可以将$2^{100}$写成$10^x$的形式，只是$x$不是整数:$x$的适当值是$x=\lg 2^{100}=100 \lg 2$(我们使用$\lg$表示以10为基数的对数)。我们有
$$
k-1 \leq x<k,
$$
也就是说$k-1$是不超过$x$的最大的整数。数学家们为此取了一个名字:它是$x$的整数部分或底面，用$\lfloor x\rfloor$表示。我们也可以说，通过将$x$舍入到下一个整数得到$k$。将$x$四舍五入到下一个整数所得到的数字还有一个名字:它被称为$x$的上限，用$\lceil x\rceil$表示。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
