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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Cartesian Products
In Definition 1.1.13, we formally defined the Cartesian product of two sets. It is easy to extend Definition 1.1.13 to Cartesian products of finitely many sets, $S_1, \ldots, S_n$ say: simply define
$$
S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n:=\left(S_1 \times \cdots \times S_{n-1}\right) \times S_n
$$
through induction on $n$ (if $S_1=\cdots=S_n=: S$, we often write $S^n$ ). The elements of $S_1 \times \cdots \times S_n$ are then ordered $n$-tuples $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ with coordinates $x_j \in S_j$, which are inductively defined as
$$
\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right):=\left(\left(x_1, \ldots, x_{n-1}\right), x_n\right) \quad\left(x_j \in S_j, j=1, \ldots, n\right) .
$$
Now, let $\mathcal{S}$ be an arbitrary (i.e., possibly infinite) collection of sets. How should their Cartesian product $\prod{S: S \in \mathcal{S}}$ be defined? To answer this question, we first take a closer look at Cartesian products of finitely many sets.
Example 1.3.1. Let $S_1, \ldots, S_n$ be sets. Since it is a standing hypothesis of ours that all sets we encounter are subsets of one giant universe, we may form the union $S_1 \cup \cdots \cup S_n$. Let $f:{1, \ldots, n} \rightarrow S_1 \cup \cdots \cup S_n$ be a function such that $f(j) \in S_j$ for $j=1, \ldots, n$. Then $(f(1), \ldots, f(n))$ is an element of $S_1 \times \cdots \times S_n$. Conversely, if $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in S_1 \times \cdots \times S_n$, the function
$$
f:{1, \ldots, n} \rightarrow S_1 \cup \cdots \cup S_n, \quad j \mapsto x_j
$$
satisfies $f(j) \in S_j$ for $j=1, \ldots, n$. Hence, another way to describe $S_1 \times \cdots \times S_n$ is as the set of all functions $f$ from ${1, \ldots, n}$ to $S_1 \cup \cdots \cup S_n$ such that $f(j) \in S_j$ for $j=1, \ldots, n$.
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Definitions and Examples
In Euclidean 2-space, the distance between two points $\left(x_1, x_2\right)$ and $\left(y_1, y_2\right)$ is defined as $\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\left(x_2-y_2\right)^2}$. More generally, in Euclidean $n$-space $\mathbb{R}^n$, one defines, for $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ and $y=\left(y_1, \ldots, y_n\right)$, their distance as
$$
d(x, y):=\sqrt{\sum_{j=1}^n\left(x_j-y_j\right)^2 .}
$$
The Euclidean distance has the following properties.
- $d(x, y) \geq 0$ for all $x, y \in \mathbb{R}^n$ with $d(x, y)=0$ if and only if $x=y$;
- $d(x, y)=d(y, x)$ for all $x, y \in \mathbb{R}^n$;
- $d(x, z) \leq d(x, y)+d(y, z)$ for $x, y, z \in \mathbb{R}^n$.
In the definition of a metric space, these three properties of the Euclidean distance are axiomatized.
Definition 2.1.1. Let $X$ be a set. A metric on $X$ is a map $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ with the following properties:
(a) $d(x, y) \geq 0$ for all $x, y \in X$ with $d(x, y)=0$ if and only if $x=y$ (positive definiteness);
(b) $d(x, y)=d(y, x)$ for all $x, y \in X$ (symmetry);
(c) $d(x, z) \leq d(x, y)+d(y, z)$ for $x, y, z \in X$ (triangle inequality).
$A$ set together with a metric is called a metric space.
We often denote a metric space $X$ whose metric is $d$ by $(X, d)$; sometimes, if the metric is obvious or irrelevant, we may also simply write $X$.
Examples 2.1.2. (a) $\mathbb{R}^n$ with the Euclidean distance is a metric space.
(b) Let $(X, d)$ be a metric space, and let $Y$ be a subset of $X$. Then the restriction of $d$ to $Y \times Y$ turns $Y$ into a metric space of its own. The metric space $\left(Y,\left.d\right|_{Y \times Y}\right)$ is called a subspace of $X$. In particular, any subset of $\mathbb{R}^n$ equipped with the Euclidean distance is a subspace of $\mathbb{R}^n$.
(c) Let $E$ be a linear space (over $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ or $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ ). A norm on $E$ is a map $|\cdot|: E \rightarrow \mathbb{R}$ such that: (i) $|x| \geq 0$ for all $x \in E$ with $|x|=0$ if and only if $x=0$; (ii) $|\lambda x|=|\lambda||x|$ for $\lambda \in \mathbb{F}$ and $x \in E$; (iii) $|x+y| \leq|x|+|y|$ for all $x, y \in E$ (a linear space equipped with a norm is called a normed space). For $x, y \in E$, define
$$
d(x, y):=|x-y| .
$$
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Cartesian Products
在定义1.1.13中，我们正式定义了两个集合的笛卡尔积。将定义1.1.13推广到有限多集的笛卡尔积上是很容易的，$S_1, \ldots, S_n$说:简单定义
$$
S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n:=\left(S_1 \times \cdots \times S_{n-1}\right) \times S_n
$$
通过归纳上$n$(如果是$S_1=\cdots=S_n=: S$，我们经常写$S^n$)。然后将$S_1 \times \cdots \times S_n$的元素排序为$n$ -元组$\left(x_1, \ldots, x_n\right)$，坐标为$x_j \in S_j$，归纳定义为
$$
\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right):=\left(\left(x_1, \ldots, x_{n-1}\right), x_n\right) \quad\left(x_j \in S_j, j=1, \ldots, n\right) .
$$
现在，设$\mathcal{S}$是一个任意的(即可能是无限的)集合集合。它们的笛卡尔积$\prod{S: S \in \mathcal{S}}$应该如何定义?为了回答这个问题，我们首先仔细研究有限多集的笛卡尔积。
例1.3.1。设$S_1, \ldots, S_n$。因为这是我们的一个长期假设，我们遇到的所有集合都是一个巨大宇宙的子集，我们可以形成联合$S_1 \cup \cdots \cup S_n$。设$f:{1, \ldots, n} \rightarrow S_1 \cup \cdots \cup S_n$为一个函数，这样$f(j) \in S_j$表示$j=1, \ldots, n$。那么$(f(1), \ldots, f(n))$是$S_1 \times \cdots \times S_n$的一个元素。反之，如果$\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in S_1 \times \cdots \times S_n$，函数
$$
f:{1, \ldots, n} \rightarrow S_1 \cup \cdots \cup S_n, \quad j \mapsto x_j
$$
对$j=1, \ldots, n$满足$f(j) \in S_j$。因此，描述$S_1 \times \cdots \times S_n$的另一种方法是从${1, \ldots, n}$到$S_1 \cup \cdots \cup S_n$的所有函数的集合$f$，例如$f(j) \in S_j$表示$j=1, \ldots, n$。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Definitions and Examples
在欧氏2空间中，两点$\left(x_1, x_2\right)$和$\left(y_1, y_2\right)$之间的距离定义为$\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\left(x_2-y_2\right)^2}$。更一般地说，在欧几里得$n$ -空间$\mathbb{R}^n$中，对于$x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$和$y=\left(y_1, \ldots, y_n\right)$，它们的距离定义为
$$
d(x, y):=\sqrt{\sum_{j=1}^n\left(x_j-y_j\right)^2 .}
$$
欧几里得距离有以下性质。
$d(x, y) \geq 0$ 对于所有$x, y \in \mathbb{R}^n$和$d(x, y)=0$，当且仅当$x=y$;
$d(x, y)=d(y, x)$ 对于所有$x, y \in \mathbb{R}^n$;
$d(x, z) \leq d(x, y)+d(y, z)$ 浏览$x, y, z \in \mathbb{R}^n$。
在度量空间的定义中，欧几里得距离的这三个性质是公理化的。
2.1.1.定义让 $X$ 做一个集合。一个度规 $X$ 是一张地图 $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ 具有以下属性:
(a) $d(x, y) \geq 0$ 对所有人 $x, y \in X$ 有 $d(x, y)=0$ 当且仅当 $x=y$ (肯定确定性);
(b) $d(x, y)=d(y, x)$ 对所有人 $x, y \in X$ (对称);
(c) $d(x, z) \leq d(x, y)+d(y, z)$ 为了 $x, y, z \in X$ (三角不等式)。
$A$ 与度量集在一起称为度量空间。
我们经常表示度量空间 $X$ 它的度规是 $d$ 通过 $(X, d)$;有时，如果度量是明显的或不相关的，我们也可以简单地写 $X$．
例2.1.2。(a) $\mathbb{R}^n$ 欧几里得距离是一个度量空间。
(b)让 $(X, d)$ 是一个度量空间，让 $Y$ 的子集 $X$． 那么限制 $d$ 到 $Y \times Y$ 转弯 $Y$ 变成了它自己的度量空间。度规空间 $\left(Y,\left.d\right|_{Y \times Y}\right)$ 的子空间 $X$． 特别地，的任何子集 $\mathbb{R}^n$ 具有欧氏距离的是的子空间 $\mathbb{R}^n$．
(c)让 $E$ 是一个线性空间 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ ）. 规范 $E$ 是一张地图 $|\cdot|: E \rightarrow \mathbb{R}$ (i) $|x| \geq 0$ 对所有人 $x \in E$ 有 $|x|=0$ 当且仅当 $x=0$;(ii) $|\lambda x|=|\lambda||x|$ 为了 $\lambda \in \mathbb{F}$ 和 $x \in E$;(iii) $|x+y| \leq|x|+|y|$ 对所有人 $x, y \in E$ (具有范数的线性空间称为赋范空间)。因为 $x, y \in E$，定义
$$
d(x, y):=|x-y| .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
