物理代考| Barrier Penetration 量子力学代写
物理代写
$3.4$
Barrier Penetration
Consider a non-relativistic particle moving in one dimension against a barrier of height $V_{0}$ extending for all $x>0$. Suppose its energy is less than the barrier height. Then classically it can never get into the barrier, since its kinetic energy is a positive definite quantity
$$
\begin{aligned}
E &=\frac{m}{2} \dot{x}^{2}+V_{0} \
E-V_{0} &=\frac{m}{2} \dot{x}^{2} \geq 0
\end{aligned}
$$
Let us now ask what happens in quantum mechanics with the above boundary conditions. Consider a stationary state with an energy $E0
$$
This can be rearranged to read
$$
\frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}=\kappa^{2} \psi(x) \quad ; x>0
$$
$$
\kappa^{2} \equiv \frac{2 m\left(V_{0}-E\right)}{\hbar^{2}}
$$
The acceptable solution inside the barrier, which extends out to infinity, is evidently
the barrier,
Let us now match the wave functions, and their first derivatives, at the origin $x=0$
$\begin{aligned} 1+a &=b \ i k(1-a) &=\end{aligned}$
The solution to these equations gives
gives
Several featiures of this result are of interest:
Several features of this result are of interest:
- In contrast to the classical result, there is now a finite probability of finding the particle inside the barrier;
物理代考
2.
$3.4$
屏障穿透
考虑一个非相对论粒子在一维上移动，反对高度为 $V_{0}$ 的障碍，延伸到所有 $x>0$。假设它的能量小于势垒高度。然后经典地它永远不会进入障碍，因为它的动能是一个正定的量
$$
\开始{对齐}
E &=\frac{m}{2} \dot{x}^{2}+V_{0} \
E-V_{0} &=\frac{m}{2} \dot{x}^{2} \geq 0
\end{对齐}
$$
现在让我们问一下具有上述边界条件的量子力学会发生什么。考虑能量 $E0
$$
这可以重新排列以阅读
$$
\frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}=\kappa^{2} \psi(x) \quad ; x>0
$$
$$
\kappa^{2} \equiv \frac{2 m\left(V_{0}-E\right)}{\hbar^{2}}
$$
屏障内可接受的解决方案，延伸到无限，显然是
障碍，
现在让我们在原点 $x=0$ 处匹配波函数及其一阶导数
$\begin{对齐} 1+a &=b \ i k(1-a) &=\end{对齐}$
这些方程的解给出
给
这个结果的几个特征很有趣：
这个结果的几个特征很有趣：
- 与经典结果相比，现在在屏障内找到粒子的概率是有限的；$3.4$
屏障穿透
考虑一个非相对论粒子在一维上移动，反对高度为 $V_{0}$ 的障碍，延伸到所有 $x>0$。假设它的能量小于势垒高度。然后经典地它永远不会进入障碍，因为它的动能是一个正定的量
$$
\开始{对齐}
E &=\frac{m}{2} \dot{x}^{2}+V_{0} \
E-V_{0} &=\frac{m}{2} \dot{x}^{2} \geq 0
\end{对齐}
$$
现在让我们问一下具有上述边界条件的量子力学会发生什么。考虑能量 $E0
$$
这可以重新排列以阅读
$$
\frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}=\kappa^{2} \psi(x) \quad ; x>0
$$
$$
\kappa^{2} \equiv \frac{2 m\left(V_{0}-E\right)}{\hbar^{2}}
$$
屏障内可接受的解决方案，延伸到无限，显然是
障碍，
现在让我们在原点 $x=0$ 处匹配波函数及其一阶导数
$\begin{对齐} 1+a &=b \ i k(1-a) &=\end{对齐}$
这些方程的解给出
给
这个结果的几个特征很有趣：
这个结果的几个特征很有趣： - 与经典结果相反，现在在屏障内找到粒子的概率是有限的
3.1 薛定谔方程
让我们尝试扩展薛定谔方程来描述质量为 $m$ 的非相对论粒子在真实势 $V(x)$ 中运动。一个明显的方法是仅仅求助于我们的经典力学论点，并将汉密尔顿方程扩展为
$$
\frac{p^{2}}{2 m} \rightarrow \frac{p^{2}}{2 m}+V(x)
$$
让我们看看如果我们使用以下哈密顿量，我们之前的量子力学论证会发生什么
$$
H(p, x)=\frac{p^{2}}{2 m}+V(x) \quad ; \文本{汉密尔顿}
$$
我们将继续将薛定谔方程中的动量写为
$$
p=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \quad ; \text {动量}
$$
汉密尔顿仍然是厄米特，因为真正的潜力是厄米特
$$
\int d x \psi^{}(x) V \psi(x)=\int d x[V \psi(x)]^{} \psi(x) \quad ; \text { 厄米特人 }
$$
然后分离的解决方案再次成为静止状态
$$
\Psi(
$$ $$ \Psi(x, t)=\psi(x) e^{-i E t / \hbar} $$ 其中 $E$ 是实际能量 $$ \frac{\int dx \psi^{ }(x) H \psi(x)}{\int dx|\psi(x)|^{2}}=E $$ 14 $\quad$ 量子力学导论 $$ \frac{\partial \rho (x, t)}{\partial t}+\frac{\partial S(x, t)}{\partial x}=0 $$ rhs 上的势能抵消方程。 (2.15) $$ \begin{array}{l}\left.1 \hbar^{}(x, t)[V \Psi(x, t)]-[V \Psi(x, t)]^ {} \Psi(x, t)\right}=0 \ \text { 因此概率连续性方程的论证 }\end{array} $$ 在哪里 $$ \开始{数组}{lrl} \rho(x, t) & =|\Psi(x, t)|^{2} & ; \text { 概率密度 } \ S(x, t) & =\frac{1}{2 m}\left{\Psi^{\star}(x, t) p \Psi(x, t)+[p \Psi(x, t )]^{} \Psi(x, t)\right}
\结束{数组}
$$
;概率通量
特别是，概率密度和通量在静止状态下仍然与时间无关
$$
\开始{对齐}
\rho(x) &=|\psi(x)|^{2} & ; \text { 静止状态 } \
S(x) &=\frac{1}{2 m}\left{\psi^{\star}(x) p \psi(x)+[p \psi(x)]^{*} \psi (x)\右}
\end{对齐}
$$
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电磁学代考
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光学代考
光学（Optics），是物理学的分支，主要是研究光的现象、性质与应用，包括光与物质之间的相互作用、光学仪器的制作。光学通常研究红外线、紫外线及可见光的物理行为。因为光是电磁波，其它形式的电磁辐射，例如X射线、微波、电磁辐射及无线电波等等也具有类似光的特性。
大多数常见的光学现象都可以用经典电动力学理论来说明。但是，通常这全套理论很难实际应用，必需先假定简单模型。几何光学的模型最为容易使用。
相对论代考
上至高压线，下至发电机，只要用到电的地方就有相对论效应存在！相对论是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，被誉为现代物理性最伟大的基础理论。
流体力学代考
流体力学是力学的一个分支。 主要研究在各种力的作用下流体本身的状态，以及流体和固体壁面、流体和流体之间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。
随机过程代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程
