统计代写|The Ratio of Two Gamma Random Variable抽样理论代考
统计代写
The following result turns out to be useful in several computations.
- Assume that $X$ and $Y$ are independent Gamma random variables with parameters $(r, \lambda)$ and $(s, \lambda)$, respectively. Let $U=X / Y$. Then the probability density of $U$ is given by
$$
f_{U}(u)=\frac{\Gamma(r+s)}{\Gamma(r) \Gamma(s)} \frac{u^{r-1}}{(u+1)^{r+s}} \text { for } u>0 .
$$
Let $U=X / Y$ and $V=X$. We see that $(x, y) \longrightarrow(u, v)$ is a one to one transformation from $(0, \infty) \times(0, \infty)$ to itself and the Jacobian is $v / u^{2}$. The density of $(X, Y)$ is
$$
\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} x^{r-1} \exp (-\lambda x) \frac{\lambda^{s}}{\Gamma(s)} y^{s-1} \exp (-\lambda y) \text { for } x>0, y>0 .
$$
Hence, the density of $(U, V)$ is
$$
f(u, v)=\frac{\lambda^{r+s}}{\Gamma(r) \Gamma(s)} v^{r-1} \exp (-\lambda v)\left(\frac{v}{u}\right)^{s-1} \exp \left(-\lambda \frac{v}{u}\right) \frac{v}{u^{2}} \text { for } u>0, v>0 .
$$
Our goal is to compute the marginal density of $U$ and hence to integrate the preceding joint density with respect to $v$. This is why we rearrange the joint density,
$$
f(u, v)=\frac{\lambda^{r+s}}{u^{s+1} \Gamma(r) \Gamma(s)} v^{r+s-1} \exp \left(-\lambda\left(1+\frac{1}{u}\right) v\right) .
$$
Now, for any $\mu>0$ and $a>0$,
$$
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a)} \mu^{a} x^{a-1} \exp (-\mu x) d x=1 .
$$
16 Continuous Joint Distributions
182
This is so because the integrand is a Gamma density with parameters $a$ and $\mu$. Hence,
$$
\int_{0}^{\infty} x^{a-1} \exp (-\mu x) d x=\frac{\Gamma(a)}{\mu^{a}}
$$
We use this formula with $a=r+s$ and $\mu=\lambda(1+1 / u)$ to get
$$
\int_{0}^{\infty} v^{r+s-1} \exp \left(-\lambda\left(1+\frac{1}{u}\right) v\right) d v=\frac{\Gamma(r+s)}{\lambda^{r+s}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{r+s}}
$$
Therefore,
$$
\int_{0}^{\infty} f(u, v) d v=\frac{\lambda^{r+s}}{u^{s+1} \Gamma(r) \Gamma(s)} \frac{\Gamma(r+s)}{\lambda^{r+s}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{r+s}}
$$
Hence, the density of $U=X / Y$ is
$$
f_{U}(u)=\frac{\Gamma(r+s)}{\Gamma(r) \Gamma(s)} \frac{u^{r-1}}{(u+1)^{r+s}} \text { for } u>0 .
$$
下面的结果证明在几个计算中很有用。
- 假设 $X$ 和 $Y$ 是独立的 Gamma 随机变量，参数分别为 $(r, \lambda)$ 和 $(s, \lambda)$。令 $U=X / Y$。那么$U$的概率密度由下式给出
$$
f_{U}(u)=\frac{\Gamma(r+s)}{\Gamma(r) \Gamma(s)} \frac{u^{r-1}}{(u+1)^{ r+s}} \text { 对于 } u>0 。
$$
令 $U=X / Y$ 和 $V=X$。我们看到 $(x, y) \longrightarrow(u, v)$ 是从 $(0, \infty) \times(0, \infty)$ 到自身的一对一变换，雅可比行列式是 $v / u ^{2}$。 $(X, Y)$ 的密度为
$$
\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} x^{r-1} \exp (-\lambda x) \frac{\lambda^{s}}{\Gamma(s)} y ^{s-1} \exp (-\lambda y) \text { for } x>0, y>0 。
$$
因此，$(U, V)$ 的密度为
$$
f(u, v)=\frac{\lambda^{r+s}}{\Gamma(r) \Gamma(s)} v^{r-1} \exp (-\lambda v)\left(\ frac{v}{u}\right)^{s-1} \exp \left(-\lambda \frac{v}{u}\right) \frac{v}{u^{2}} \text {对于 } u>0, v>0 。
$$
我们的目标是计算 $U$ 的边际密度，从而整合前面关于 $v$ 的联合密度。这就是我们重新排列关节密度的原因，
$$
f(u, v)=\frac{\lambda^{r+s}}{u^{s+1} \Gamma(r) \Gamma(s)} v^{r+s-1} \exp \左(-\lambda\left(1+\frac{1}{u}\right) v\right) 。
$$
现在，对于任何 $\mu>0$ 和 $a>0$，
$$
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a)} \mu^{a} x^{a-1} \exp (-\mu x) d x=1 。
$$
16个连续联合分布
182
之所以如此，是因为被积函数是具有参数 $a$ 和 $\mu$ 的 Gamma 密度。因此，
$$
\int_{0}^{\infty} x^{a-1} \exp (-\mu x) d x=\frac{\Gamma(a)}{\mu^{a}}
$$
我们使用这个公式与 $a=r+s$ 和 $\mu=\lambda(1+1 / u)$ 得到
$$
\int_{0}^{\infty} v^{r+s-1} \exp \left(-\lambda\left(1+\frac{1}{u}\right) v\right) dv=\ frac{\Gamma(r+s)}{\lambda^{r+s}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{r+s}}
$$
所以，
$$
\int_{0}^{\infty} f(u, v) dv=\frac{\lambda^{r+s}}{u^{s+1} \Gamma(r) \Gamma(s)} \ frac{\Gamma(r+s)}{\lambda^{r+s}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{r+s}}
$$
因此，$U=X / Y$ 的密度为
$$
f_{U}(u)=\frac{\Gamma(r+s)}{\Gamma(r) \Gamma(s)} \frac{u^{r-1}}{(u+1)^{ r+s}} \text { 对于 } u>0 。
$$
统计代考
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编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
